Kreisprozesse: Unterschied zwischen den Versionen
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Reale Prozesse, |
Reale Prozesse, die in [[Wärmepumpe]]n und [[Wärmekraftmaschine]]n ablaufen, sind mittels Kreisprozesse näherungsweise beschreibbar; ein Kreisprozess bildet eine Idealisierung des realen Vorganges. Aus dem Wort Kreisprozess geht hervor, dass ein Stoff (meist ein Gas) immer wieder die gleichen Zustände durchläuft. Dabei tauscht der Stoff reversibel Entropie mit der Umgebung aus. |
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In dieser Vorlesung werden drei Kreisprozess behandelt. Der [[Carnot-Prozess]] ist nur vom historischen Interesse. Anhand dieses Prozesses hat ''Rudolf Clausius'' die [[Entropie]] als [[Zustandsgrösse]] hergeleitet. Viele Physikkurse folgen bei der Einführung der Entropie immer noch den Ideen von Clausius und verschleiern damit, dass die Entropie eine [[Primärgrösse]] ist, die in der Natur existiert und die man nicht aus fundamentaleren Grössen herleiten muss. Der [[Stirling-Prozess]] wird in dem von ''Robert Stirling'' erfunden Motor näherungsweise realisiert. Von zentraler Bedeutung für die Technik ist der [[Joule-Prozess]], weil das Gas in [[Gasturbine]]n und [[Strahltriebwerk]]en in guter Näherung diesen Kreisprozess durchläuft. |
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==Lernziele== |
==Lernziele== |
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Sie lernen in dieser Vorlesung |
Sie lernen in dieser Vorlesung |
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*die wesentlichen Fakten zu den vier Basisprozessen (isochores und isobares Heizen oder Kühlen, isentropes und isothermes Komprimieren oder Expandieren) |
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*die thermische, die energetische und die entropische Beschreibung des Carnot-Zyklus |
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*die thermische, die energetische und die entropische Beschreibung des Stirling-Zyklus |
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*die thermische, die energetische und die entropische Beschreibung des Joule-Zyklus |
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==Basisprozesse== |
==Basisprozesse== |
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In der letzten [[Carnotor und ideales Gas|Vorlesung]] haben Sie gelernt, wie man mit Hilfe eines systemdynamischen Modells die vier Basisprozess simuliert. Weil das Gas bei diesen Prozessen lauter Gleichgewichtszustände durchläuft, |
In der letzten [[Carnotor und ideales Gas|Vorlesung]] haben Sie gelernt, wie man mit Hilfe eines [[System Dynamics|systemdynamischen]] Modells des [[Carnotor]]s die vier Basisprozess simuliert. Weil das Gas bei diesen Prozessen lauter Gleichgewichtszustände durchläuft, genügt eine statische Analyse. Das dazu notwendige Wissen wird nachfolgend nochmals vertieft. |
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===isochor=== |
===isochor=== |
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Beim isochoren Heizen oder Kühlen wird [[Entropie]] bei konstant gehaltenem Volumen zu- oder abgeführt. |
Beim isochoren Heizen oder Kühlen wird [[Entropie]] bei konstant gehaltenem Volumen zu- oder abgeführt. Dazu muss beim [[Carnotor]] der hydraulische Zugang geschlossen und der thermische aktiviert sein. Isochore Prozesse werden durch folgende Beziehungen beschrieben |
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Die molare Energiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Volumen) ist gleich der Zahl der Freiheitsgrade der Teilchen mal die halbe universelle Gaskonstante |
Der Druck steigt proportional mit der absoluten Temperatur, die innere Energie mit der Temperaturdifferenz und die Entropie mit dem Logarithmus der Temperaturverhältnisse. Die molare Energiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Volumen) ist gleich der Zahl der Freiheitsgrade der Teilchen mal die halbe universelle Gaskonstante |
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:<math>\hat c_V=\frac f2 R</math>. |
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===isobar=== |
===isobar=== |
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Beim isobaren Heizen oder Kühlen wird [[Entropie]] bei konstant gehaltenem Druck zu- oder abgeführt. |
Beim isobaren Heizen oder Kühlen wird [[Entropie]] bei konstant gehaltenem Druck zu- oder abgeführt. Deshalb muss der hydraulische Zugang beim [[Carnotor]] auf Freilauf geschaltet und der thermische aktiviert sein. Die Stärke des zufliessenden Wärmestromes ist gleich der Änderungsrate der [[Enthalpie]] |
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:<math>I_{W_{therm}}=\dot H=n\hat c_p\dot T=\dot W+p\dot V=n\hat c_V\dot T+nR\dot T</math> |
:<math>I_{W_{therm}}=\dot H=n\hat c_p\dot T=\dot W+p\dot V=n\hat c_V\dot T+nR\dot T</math> |
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In der letzten Umformung ist die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases verwendet worden. |
In der letzten Umformung ist die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases verwendet worden. Aus dieser Gleichung folgt für die molare Enthalpiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Druck) des idealen Gases |
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:<math>\hat c_p=\hat c_V+R</math> |
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Die molare Enthalpiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Druck) idealer Gase ist gleich |
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:<math>\hat c_p=\frac{f+2}{2}R</math> |
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wobei ''f'' die Zahl der Freiheitsgrade der Teilchen beschreibt. Einatomige Teilchen haben drei Freiheitsgrade, zweiatomige fünf. |
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Das isobare Heizen oder Kühlen von idealem Gas wird durch folgende Gleichungen beschrieben |
Das isobare Heizen oder Kühlen von idealem Gas wird durch folgende Gleichungen beschrieben |
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|<math>\Delta S=n\hat c_p\ln{\frac{T_2}{T_1}}</math> |
|<math>\Delta S=n\hat c_p\ln{\frac{T_2}{T_1}}</math> |
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Das Volumen vergrössert sich proportional zur absoluten Temperatur, die Enthalpie wächst mit der Temperaturdifferenz und die Entropie mit dem Logarithmus der Temperaturverhältnisse. |
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===isentrop=== |
===isentrop=== |
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:<math>\kappa=\frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V+R}{\hat c_V}=\frac{f+2}{f}</math> |
:<math>\kappa=\frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V+R}{\hat c_V}=\frac{f+2}{f}</math> |
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Der Isentropenexpoenent beträgt für Edelgase |
Der Isentropenexpoenent beträgt für Edelgase 5/3 und für Luft 7/5 = 1.4. Mit Hilfe der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases kann diese Beziehung auf die Zustandsgrössen Druck und Volumen bzw. Druck und Temperatur umgerechnet werden |
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Hier erscheint die Wärmekapazität bei konstantem Volumen, obwohl bei diesem Prozess keine thermische Energie ausgetauscht wird und das Volumen nicht konstant bleibt. |
Hier erscheint die Grösse Wärmekapazität bei konstantem Volumen, obwohl bei diesem Prozess keine thermische Energie ausgetauscht wird und das Volumen nicht konstant bleibt. Energiekapazität wäre deshalb die treffendere Bezeichnung. Der mittlere Ausdruck unter den thermischen Zustandsgleichungen für den isentropen Prozess <math>pV^\kappa=konst.</math> hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Boyleschen Gesetz <math>pV=konstant</math>. |
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===isotherm=== |
===isotherm=== |
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Beim isothermen Komprimieren oder Expandieren wird unkontrolliert [[Entropie]] mit der Umgebung ausgetauscht. Der hydraulische Zugang des [[Carnotor]]s ist aktiviert und der thermische auf Freilauf geschaltet. Die [[innere Energie]] bleibt infolge gleich bleibender Temperatur konstant. Deshalb ist die Summe aus thermischem und mechanischem Energiestrom gleich null. Bei der isothermen Prozessführung wird also Arbeit vollständig in Wärme bzw. Wärme vollständig in Arbeit umgewandelt. Bildlich gesprochen wird bei der Kompression die mechanisch zugeführte Energie auf die abfliessende Entropie umgeladen. Bei der Expansion wird die mit der Entropie zugeführte Energie an einen mechanischen Träger (Impuls oder Volumen) abgegeben, wobei die Entropie im sich vergrössernden Volumen gespeichert bleibt. |
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Das isotherme Komprimieren oder Expandieren von idealem Gas wird durch folgende Gleichungen beschrieben |
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!width="100"|Prozess |
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!width="150"|thermisch |
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!width="150"|kalorisch |
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!width="150"|entropisch |
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|[[isotherm]] |
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|<math>pV=nRT</math> = konst. |
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|<math>\Delta W=0</math> |
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|<math>\Delta S=nR\ln{\frac{V_2}{V_1}}</math> |
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|} |
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Das Produkt aus Volumen und absolutem Druck bleibt konstant. Die Arbeit lässt sich, wie in der letzten [[Carnotor und ideales Gas|Vorlesung]] gezeigt, durch direkte Integration der Druck-Volumen-Beziehung berechnen oder über die Wärme, die bei konstanter Temperatur gleich ausgetauschte Entropie mal diese Temperatur ist |
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:<math>W_{mech}=-W_{therm}=-TS_{aus}=-T\Delta S=nRT\ln{\frac{V_1}{V_2}}</math> |
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==Carnot-Zyklus== |
==Carnot-Zyklus== |
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Der [[Carnot-Prozess|Carnot-Zyklus]] wurde erstmals 1824 von ''Sadi Carnot'' in der berühmt gewordenen Publikation über die bewegende Kraft des Feuers (''Réflexions sur la puissance motrice du feu'') veröffentlicht. Dabei vertrat Carnot die Hypothese, dass die Wärme (chaleur) wie das fallende Wasser eine bewegende Kraft entfaltet, sobald sie über ein Temperaturgefälle fliesst. Identifiziert man die [[Wärme]] mit der [[Entropie]] und die bewegende Kraft mit der [[Energie]], hat Carnot eine äusserst tragfähiges Modell thermischer Prozesse entwickelt. |
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Beim Carnot-Zyklus wird [[Wärme]] über eine [[isotherm]]e Expansion eines Arbeitsgases aus einem heissen Wärmebad entnommen (hier ist mit Wärme - entsprechend der Vorstellung von Carnot - die Entropie gemeint). Danach wird das Gas [[isentrop]] entspannt, bis es die Temperatur eines zweiten, kalten Wärmebades erreicht hat. An dieses Bad gibt das Gas die aufgenommene Wärme bei konstant gehaltener Temperatur wieder ab. Danach wird das Arbeitsgas ohne weiteren Wärmeaustausch auf die ursprünglich Temperatur gedrückt. |
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Nummeriert man die "Eckpunkte" des Carnot-Zyklus mit 1, 2, 3, 4, ergibt sich die folgende Beschreibung |
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!width="220"|Prozess |
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!width="220"|thermische Beschreibung |
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!width="200"|Entropie |
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!width="250"|Energie |
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|[[isotherm]]e Expansion 1 nach 2 |
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|<math>pV=nRT_{12}=konst</math> |
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|<math>\Delta S=nR\ln{\frac{V_2}{V_1}}</math> |
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|Wärme = <math>nRT_{12}\ln{\frac{V_2}{V_1}}</math> = -Arbeit |
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|[[isentrop]]e Expansion 2 nach 3 |
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|<math>\left(\frac{V_3}{V_2}\right)^{\kappa-1}=\frac{T_{12}}{T_{34}}</math> |
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|<math>\Delta S=0</math> |
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|Arbeit = <math>n\hat c_V(T_{34}-T_{12})</math> |
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|[[isotherm]]e Kompression 3 nach 4 |
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|<math>pV=nRT_{34}=konst</math> |
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|<math>\Delta S=nR\ln{\frac{V_4}{V_3}}</math> |
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|Arbeit = <math>nRT_{34}\ln{\frac{V_3}{V_4}}</math> = -Wärme |
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|[[isentrop]]e Kompression 4 nach 1 |
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|<math>\left(\frac{V_1}{V_4}\right)^{\kappa-1}=\frac{T_{34}}{T_{12}}</math> |
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|<math>\Delta S=0</math> |
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|Arbeit = <math>n\hat c_V(T_{12}-T_{34})</math> |
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|} |
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Der hydraulische Zugang ([[Port]]) des [[Carnotor]]s ist beim [[Carnot-Zyklus]] immer aktiv. Der thermische Zugang wird entweder auf ''geschlossen'' ([[isentrop]]) oder auf ''Freilauf'' geschaltet ([[isotherm]]). Weil die bei hoher Temperatur zugeführte Entropie der bei tiefer wieder abgegebenen entspricht, folgt für die Volumen in den vier Eckpunkten |
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:<math>\frac {V_2}{V_1}=\frac {V_3}{V_4}</math> |
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Der Carnot-Zyklus ist durch die Temperatur der beiden Wärmebäder, das minimale und das maximale Volumen sowie den Isentropenexponenten des Arbeitsgases (''κ'') festgelegt. |
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Zur Simulation im [[Carnotor]] teilt man die gesamte Simulationszeit in vier gleich grosse Abschnitte ein. Zudem berechnet man mit Hilfe der oben aufgeführten Formeln aus den gewählten Werten (Temperaturen der Wärmebäder, grösstes und kleinstes Volumen) die beiden andern Volumen. Daraus ergeben sie die Volumenströme für die vier Teilprozesse. Der thermische Anschluss ist während diesen vier Zeitspannen entweder mit einem der beiden Wärmebäder zu verbinden (isotherme Prozesse) oder zu schliessen (isentrope Prozesse). |
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Die erste Graphik zeigen den thermischen (schwarz) und den mechanischen (rot) Energiestrom sowie die Änderung der inneren Energie (grün). Die andern Bilder zeigen die beiden grundlegenden statischen Diagramme (''T-S-'' und ''p-V-''). Die Fläche unter dem Temperatur-Entropie-Diagramm entspricht der zugeführten Wärmeenergie, die Fläche unter dem Druck-Volumen-Diagramm der abgeführten Arbeit. Die beiden eingeschlossenen Flächen sind energetisch äquivalent. |
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Bild:CarnotZyklus_Energie.png|Energie |
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Bild:CarnotZyklus T-S-D.png|''T-S-''Diagramm |
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Bild:CarnotZyklus p-V-D.png|''p-V-''Diagramm |
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</gallery> |
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==Stirling-Zyklus== |
==Stirling-Zyklus== |
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Der [[Stirling-Zyklus]] unterscheidet sich vom Carnot-Zyklus durch [[isochor]]e statt [[isentrop]]e Prozessführung. In beiden Zyklen dienen diese Prozesse der Anpassung der Temperatur des Arbeitsgases an die der Wärmebäder. Die beiden eigentlichen Arbeitstakte, in denen das Gas Entropie bei hoher Temperatur aufnimmt und bei tiefer wieder abgibt, sind identisch. Der Stirling-Zyklus wird in den [[Stirlingmotor]]en näherungsweise realisiert. |
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Nummeriert man die "Eckpunkte" des Stirling-Zyklus mit 1, 2, 3, 4, ergibt sich die folgende Beschreibung |
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!width="220"|Prozess |
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!width="220"|thermische Beschreibung |
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!width="200"|Entropie |
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!width="250"|Energie |
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|[[isotherm]]e Expansion 1 nach 2 |
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|<math>pV=nRT_{12}=konst</math> |
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|<math>\Delta S=nR\ln{\frac{V_2}{V_1}}</math> |
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|Wärme = <math>nRT_{12}\ln{\frac{V_2}{V_1}}</math> = -Arbeit |
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|[[isochor]]e Abkühlung 2 nach 3 |
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|<math>\frac{p}{T}=\frac{nR}{V_{23}}=konst.</math> |
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|<math>\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_{34}}{T_{12}}}</math> |
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|Wärme = <math>n\hat c_V(T_{34}-T_{12})</math> |
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|- |
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|[[isotherm]]e Kompression 3 nach 4 |
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|<math>pV=nRT_{34}=konst</math> |
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|<math>\Delta S=nR\ln{\frac{V_4}{V_3}}</math> |
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|Arbeit = <math>nRT_{34}\ln{\frac{V_3}{V_4}}</math> = -Wärme |
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|[[isochor]]e Erwärmung 4 nach 1 |
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|<math>\frac{p}{T}=\frac{nR}{V_{41}}=konst.</math> |
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|<math>\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_{12}}{T_{34}}}</math> |
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|Wärme = <math>n\hat c_V(T_{12}-T_{34})</math> |
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|} |
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Der hydraulische Zugang ([[Port]]) des [[Carnotor]]s ist beim [[Stirling-Zyklus]] nur noch bei den beiden isothermen Prozessen aktiv. In den beiden isochoren Prozessen ist er geschlossen. Der thermische [[Port]] ist bei den beiden isothermen Prozessen wie beim Carnot-Zyklus auf ''Freilauf'' geschaltet ([[isotherm]]). In den beiden isochoren Prozessen ist der thermische [[Port]] aktiv. |
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Der Unterschied zwischen dem Carnot- und dem Stirling-Zyklus liegt in den beiden "blinden" Prozessen, die nur der Temperaturveränderung zwischen den beiden Hauptprozessen (Entropie bei hoher Temperatur aufnehmen und bei tiefer wieder abgeben) dienen. Im Carnot-Zyklus wird die durch die Änderung der inneren Energie bedingte, abzugebende oder aufzunehmende Energie mechanisch zwischengespeichert. Im Stirling-Zyklus wird diese Energie zusammen mit der Entropie bei unterschiedlicher Temperatur abgegeben und wieder aufgenommen. Würde die Wärme beim Aufheizen des Arbeitsgases vom warmen Bad zugeführt und beim Abkühlen an das kalte abgegeben, käme dies einer nutzlosen Wärmeübertragung vom heissen zum kalten Bad gleich. Die dabei produzierte Entropie wäre dann gleich der an das kalte Bad abgegebene Entropie minus die vom warmen aufgenommenen (bei konstant gehaltener Temperatur ist die ausgetauschte Entropie gleich der Wärmeenergie durch die absolute Temperatur) |
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:<math>S_{prod}=n\hat c_V(T_{12}-T_{34})\left(\frac{1}{T_{34}}-\frac{1}{T_{12}}\right)</math> |
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Diese Entropie wird beim hinunter Fliessen der Entropie vom warmen Bad über das Arbeitsgas ans kalte Bad produziert (jedes unkontrollierte hinunter Plätschern einer [[Primärgrösse]] erzeugt Entropie). Um dies zu verhindern, arbeiten Stirling-Motoren mit einem Zwischenspeicher, [[Regenerator]] genannt. Im Regenerator wird die Entropie beim isochoren Abkühlen zwischengespeichert und beim isochoren Heizen wieder abgeholt. Der Regenerator bildet dabei eine Abfolge von kleinen Wärmespeichern unterschiedlicher Temperaturen. Im Idealfall wird die Entropie exakt bei der Temperatur zwischengelagert, bei der sie vom Arbeitsgas abgegeben wird. |
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Der Stirling-Zyklus ist durch die Temperatur der beiden Wärmebäder, die beiden Grenzvolumen sowie den Isentropenexponenten des Arbeitsgases (''κ'') festgelegt. |
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Zur Simulation im [[Carnotor]] teilt man die gesamte Simulationszeit in vier gleich grosse Abschnitte ein. Aus den beiden Volumen und diesem Zeitabschnitt ergeben sich die Volumenströme der isothermen Prozesse. Zudem berechnet man mit Hilfe der oben aufgeführten Formeln die Entropieänderung in den beiden isochoren Prozessen. Daraus ergeben sie die zugehörigen Entropieströme. |
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Die erste Graphik zeigen den thermischen (schwarz) und den mechanischen (rot) Energiestrom sowie die Änderung der inneren Energie (grün). Die andern Bilder zeigen die beiden grundlegenden statischen Diagramme (''T-S-'' und ''p-V-''). Die Fläche unter dem Temperatur-Entropie-Diagramm entspricht der zugeführten Wärmeenergie, die Fläche unter dem Druck-Volumen-Diagramm der abgeführten Arbeit. Die beiden eingeschlossenen Flächen sind energetisch äquivalent. |
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Bild:StirlingZyklus_Energie.png|Energie |
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Bild:StirlingZyklus T-S-D.png|''T-S-''Diagramm |
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Bild:StirlingZyklus p-V-D.png|''p-V-''Diagramm |
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==Joule-Zyklus== |
==Joule-Zyklus== |
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Der [[Joule-Zyklus]] wird in [[Gasturbine]]n und [[Strahltriebwerk]]en näherungsweise realisiert. Um den Zyklus zu verstehen, greifen wir eine bestimmte Menge Gas heraus. Im ersten Schritt wird das Gas [[isentrop]] verdichtet. Danach wird es bei hoher Temperatur isobar geheizt, um dann wieder isentrop entspannt zu werden. Das ausgestossene Gas kühlt schlussendlich bei Umgebungsdruck auf Umgebungstemperatur ab. Die Massenzunahme des Arbeitsgases durch Zufuhr des Brennstoffes wird vernachlässigt. Zudem stellt man sich vor, dass das Gas in einem geschlossenen Kreis herum geführt wird, damit alle vier Teilprozesse quasistatisch, also reversibel, beschrieben werden dürfen. |
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Im Unterschied zum Carnot-Zyklus und zum Stirling-Zyklus beginnen wir mit der Nummerierung vor der isentropen Kompression, weil die Luft zuerst den Kompressor durchläuft |
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!width="220"|Prozess |
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!width="220"|thermische Beschreibung |
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!width="200"|Entropie |
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!width="250"|Energie |
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|[[isentrop]]e Kompression 1 nach 2 |
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|<math>\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_{23}}{p_{41}}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}</math> |
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|<math>\Delta S=0</math> |
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|Arbeit = <math>n\hat c_V(T_{2}-T_{1})</math> |
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|[[isobar]]es Heizen 2 nach 3 |
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|<math>\frac VT=\frac {nR}{p_{23}}=konst</math> |
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|<math>\Delta S=n\hat c_p\ln{\frac{T_3}{T_2}}</math> |
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|Wärme = <math>\Delta H_{12}=n\hat c_p(T_3-T_2)</math> |
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|- |
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|[[isentrop]]e Expansion 3 nach 4 |
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|<math>\frac{T_{4}}{T_{3}}=\left(\frac{p_{41}}{p_{23}}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}</math> |
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|<math>\Delta S=0</math> |
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|Arbeit = <math>n\hat c_V(T_{4}-T_{3})</math> |
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|- |
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|[[isobar]]es Kühlen 4 nach 1 |
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|<math>\frac VT=\frac {nR}{p_{41}}=konst</math> |
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|<math>\Delta S=n\hat c_p\ln{\frac{T_1}{T_4}}</math> |
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|Wärme = <math>\Delta H_{41}=n\hat c_p(T_1-T_4)</math> |
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|} |
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Der hydraulische Zugang ([[Port]]) des [[Carnotor]]s ist beim [[Joule-Zyklus]] nur bei den beiden isentropen Prozessen aktiv. In den beiden isobaren Prozessen wird er auf ''Freilauf'' geschaltet. Der thermische [[Port]] ist in den beiden isobaren Prozessen aktiv und bei den beiden isentropen geschlossen. Weil die zugeführte Entropie der wieder abgegebenen entspricht, folgt für die Temperaturen in den vier Eckpunkten |
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:<math>\frac {T_3}{T_2}=\frac {T_4}{T_1}</math> |
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Der Joule-Zyklus ist durch den Druck der Umgebung und den Druck in der Brennkammer, die Temperatur der Umgebung und der Maximaltemperatur der Brennkammer sowie den Isentropenexponenten des Arbeitsgases (''κ'') festgelegt. |
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Zur Simulation im [[Carnotor]] teilt man die gesamte Simulationszeit in vier gleich grosse Abschnitte ein. Der thermische [[Port]] ist während der beiden adiabatischen Prozesse geschlossen. In den beiden andern Prozessen fliesst dort ein Entropiestrom, der aus der zugehörigen Entropieänderung und dem zugehörigen Zeitabschnitt berechnet wird. Der hydraulischen [[Port]] ist während der beiden isobaren Prozessen auf ''Freilauf'' gesetzt. In den beiden andern Prozessen wird ein Volumenstrom aufgeprägt, dessen Stärke gleich der zugehörigen Volumenänderung dividiert durch den Zeitabschnitt ist. |
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Die erste Graphik zeigen den thermischen (schwarz) und den mechanischen (rot) Energiestrom sowie die Änderung der inneren Energie (grün). Die andern Bilder zeigen die beiden grundlegenden statischen Diagramme (''T-S-'' und ''p-V-''). Die Fläche unter dem Temperatur-Entropie-Diagramm entspricht der zugeführten Wärmeenergie, die Fläche unter dem Druck-Volumen-Diagramm der vom Gas in Form von Arbeit abgegebenen Energie. Die in den beiden Diagrammen vom Kreisprozess umschlossenen Flächen sind energetisch äquivalent. |
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Bild:JouleZyklus_Energie.png|Energie |
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Bild:JouleZyklus T-S-D.png|''T-S-''Diagramm |
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Bild:JouleZyklus p-V-D.png|''p-V-''Diagramm |
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==Kontrollfragen== |
==Kontrollfragen== |
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#Wie muss der [[Carnotor]] bei einem isochoren, isobaren, isentropen und isothermen Prozess beschaltet werden? |
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#In welchem der vier Prozesse ändert sich die Energie des Gases nicht? |
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#In welchem der vier Prozesse ändert sich die Entropie des Gases nicht? |
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#In welchem Prozess wird Wärme vollständig in Arbeit umgewandelt? Wie ist das möglich? |
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#Worin unterscheidet sich der Stirling-Zyklus vom Carnot-Zyklus? In welcher Beziehung sind die beiden Prozesse gleich? |
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#Aus welchen Teilprozessen setzt sich der Joule-Zyklus zusammen? |
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#In einem [[Strahltriebwerk]] durchläuft die Luft näherungsweise einen Joule-Zyklus. Ordnen Sie jeden der vier Teilprozesse einem Bereich im Strahltriebwerk zu. Woher kommt die Entropie und wohin geht sie? |
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==Antworten zu den Kontrollfragen== |
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#Die beiden Anschlüsse des Carnotors ([[Port]]s) sind wie folgt zu beschalten: |
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##'''isochor:''' thermischer Port aktiv; hydraulischer Port geschlossen |
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##'''isobar:''' thermischer Port aktiv; hydraulischer Port mit Reservoir verbunden |
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##'''isentrop:''' thermischer Port geschlossen; hydraulischer Port aktiv |
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##'''isotherm:''' thermischer Port mit Reservoir verbunden; hydraulischer Port aktiv |
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#Die Energie des [[ideales Gas|idealen Gases]] ändert sich bei einem isothermen Prozess nicht, weil die Energie nur von der Temperatur nicht vom Volumen abhängt. |
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#Die Entropie ändert sich bei einem isentropen Prozess nicht. |
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#Wärme wird bei einer isothermen Expansion vollständig in Arbeit "umgewandelt". Dabei wird Energie zusammen mit der Entropie ins Gas hinein geleitet. Dort bleibt die Entropie hängen und die Energie wird direkt in Form von Arbeit wieder abgegeben. |
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#Sowohl im Carnot- als auch im Stirling-Zyklus wird dem Arbeitsgas bei einer festen Temperatur Entropie zugeführt und bei einer andern Temperatur wieder entzogen. Die beiden Zyklen unterscheiden sich nur im Übergang zwischen den beiden Temperaturen. Beim Carnot-Zyklus sinkt oder steigt die Temperatur isentrop, beim Stirling-Zyklus wird die Temperatur durch Entzug von Entropie abgesenkt und durch Zufuhr von Entropie wieder erhöht. Die dabei umgesetzte Entropie wird im Regenerator temperaturgerecht zwischengelagert. |
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#Der Joule-Zyklus besteht aus zwei isobaren und zwei isentropen Prozessen. |
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#Bei einem Strahltriebwerk wird die Luft zuerst isentrop verdichtet (teilweise durch den Stauvorgang, teilweise mittels eines Kompressors). Danach dehnt sich das Gas unter Zufuhr von direkt erzeugter Entropie isobar aus. Im dritten Teilprozess entspannt sich das Gas wieder isentrop (teilweise in der Turbine, teilweise im beschleunigten Gasstrahl). Der vierte und letzte Teilprozess, die isobare Abkühlung, findet weit weg vom Triebwerk in der umgebenden Luft statt. |
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==Materialien== |
==Materialien== |
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*[https://home.zhaw.ch/~mau/Lehre/Skript/ThermoT.pdf Skript] Seite 8 |
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*[https://cast.switch.ch/vod/clips/2pxvmtkq4g/link_box Videoaufzeichnung] |
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*[http://www.youtube.com/watch?v=12lH0MvCuec Kurzfassung auf Youtube] |
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'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014]]''' |
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'''[[Physik und Systemwissenschaft in Aviatik]]''' |
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[[Kategorie:VorAV]] |
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Aktuelle Version vom 25. April 2016, 10:33 Uhr
Reale Prozesse, die in Wärmepumpen und Wärmekraftmaschinen ablaufen, sind mittels Kreisprozesse näherungsweise beschreibbar; ein Kreisprozess bildet eine Idealisierung des realen Vorganges. Aus dem Wort Kreisprozess geht hervor, dass ein Stoff (meist ein Gas) immer wieder die gleichen Zustände durchläuft. Dabei tauscht der Stoff reversibel Entropie mit der Umgebung aus.
In dieser Vorlesung werden drei Kreisprozess behandelt. Der Carnot-Prozess ist nur vom historischen Interesse. Anhand dieses Prozesses hat Rudolf Clausius die Entropie als Zustandsgrösse hergeleitet. Viele Physikkurse folgen bei der Einführung der Entropie immer noch den Ideen von Clausius und verschleiern damit, dass die Entropie eine Primärgrösse ist, die in der Natur existiert und die man nicht aus fundamentaleren Grössen herleiten muss. Der Stirling-Prozess wird in dem von Robert Stirling erfunden Motor näherungsweise realisiert. Von zentraler Bedeutung für die Technik ist der Joule-Prozess, weil das Gas in Gasturbinen und Strahltriebwerken in guter Näherung diesen Kreisprozess durchläuft.
Lernziele
Sie lernen in dieser Vorlesung
- die wesentlichen Fakten zu den vier Basisprozessen (isochores und isobares Heizen oder Kühlen, isentropes und isothermes Komprimieren oder Expandieren)
- die thermische, die energetische und die entropische Beschreibung des Carnot-Zyklus
- die thermische, die energetische und die entropische Beschreibung des Stirling-Zyklus
- die thermische, die energetische und die entropische Beschreibung des Joule-Zyklus
Basisprozesse
In der letzten Vorlesung haben Sie gelernt, wie man mit Hilfe eines systemdynamischen Modells des Carnotors die vier Basisprozess simuliert. Weil das Gas bei diesen Prozessen lauter Gleichgewichtszustände durchläuft, genügt eine statische Analyse. Das dazu notwendige Wissen wird nachfolgend nochmals vertieft.
isochor
Beim isochoren Heizen oder Kühlen wird Entropie bei konstant gehaltenem Volumen zu- oder abgeführt. Dazu muss beim Carnotor der hydraulische Zugang geschlossen und der thermische aktiviert sein. Isochore Prozesse werden durch folgende Beziehungen beschrieben
| Prozess | thermisch | kalorisch | entropisch |
|---|---|---|---|
| isochor | [math]\frac pT=\frac{nR}{V}[/math] = konst. | [math]\Delta W=n\hat c_V\Delta T[/math] | [math]\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}[/math] |
Der Druck steigt proportional mit der absoluten Temperatur, die innere Energie mit der Temperaturdifferenz und die Entropie mit dem Logarithmus der Temperaturverhältnisse. Die molare Energiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Volumen) ist gleich der Zahl der Freiheitsgrade der Teilchen mal die halbe universelle Gaskonstante
- [math]\hat c_V=\frac f2 R[/math].
isobar
Beim isobaren Heizen oder Kühlen wird Entropie bei konstant gehaltenem Druck zu- oder abgeführt. Deshalb muss der hydraulische Zugang beim Carnotor auf Freilauf geschaltet und der thermische aktiviert sein. Die Stärke des zufliessenden Wärmestromes ist gleich der Änderungsrate der Enthalpie
- [math]I_{W_{therm}}=\dot H=n\hat c_p\dot T=\dot W+p\dot V=n\hat c_V\dot T+nR\dot T[/math]
In der letzten Umformung ist die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases verwendet worden. Aus dieser Gleichung folgt für die molare Enthalpiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Druck) des idealen Gases
- [math]\hat c_p=\hat c_V+R[/math]
Die molare Enthalpiekapazität (Wärmekapazität bei konstantem Druck) idealer Gase ist gleich
- [math]\hat c_p=\frac{f+2}{2}R[/math]
wobei f die Zahl der Freiheitsgrade der Teilchen beschreibt. Einatomige Teilchen haben drei Freiheitsgrade, zweiatomige fünf.
Das isobare Heizen oder Kühlen von idealem Gas wird durch folgende Gleichungen beschrieben
| Prozess | thermisch | kalorisch | entropisch |
|---|---|---|---|
| isobar | [math]\frac VT=\frac{nR}p[/math] = konst. | [math]\Delta H=n\hat c_p\Delta T[/math] | [math]\Delta S=n\hat c_p\ln{\frac{T_2}{T_1}}[/math] |
Das Volumen vergrössert sich proportional zur absoluten Temperatur, die Enthalpie wächst mit der Temperaturdifferenz und die Entropie mit dem Logarithmus der Temperaturverhältnisse.
isentrop
Beim isentropen Komprimieren oder Expandieren ändert sich die Entropie des Gases nicht. Der hydraulische Zugang des Carnotor ist aktiviert und der thermische geschlossen. Aus der Beschreibung der Entropie in Funktion des Volumens und der Temperatur
- [math]\Delta S=n\left(\hat c_V\ln{\frac{T_2}{T_1}}+R\ln{\frac{V_2}{V_1}}\right)=0[/math]
folgt
- [math]\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^R=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\hat c_V}[/math]
Diese Gleichung wird meist mit Hilfe des Isentropenexponenten κ, dem Verhältnis von Enthalpie- zu Energiekapazität, beschrieben
- [math]\kappa=\frac{\hat c_p}{\hat c_V}=\frac{\hat c_V+R}{\hat c_V}=\frac{f+2}{f}[/math]
Der Isentropenexpoenent beträgt für Edelgase 5/3 und für Luft 7/5 = 1.4. Mit Hilfe der thermischen Zustandsgleichung des idealen Gases kann diese Beziehung auf die Zustandsgrössen Druck und Volumen bzw. Druck und Temperatur umgerechnet werden
| Prozess | thermisch | kalorisch | entropisch |
|---|---|---|---|
| isentrop | [math]\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\kappa-1}=\frac{T_1}{T_2}[/math] [math]\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^\kappa=\frac{p_1}{p_2}[/math] |
[math]\Delta W=n\hat c_V\Delta T[/math] | [math]\Delta S=0[/math] |
Hier erscheint die Grösse Wärmekapazität bei konstantem Volumen, obwohl bei diesem Prozess keine thermische Energie ausgetauscht wird und das Volumen nicht konstant bleibt. Energiekapazität wäre deshalb die treffendere Bezeichnung. Der mittlere Ausdruck unter den thermischen Zustandsgleichungen für den isentropen Prozess [math]pV^\kappa=konst.[/math] hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Boyleschen Gesetz [math]pV=konstant[/math].
isotherm
Beim isothermen Komprimieren oder Expandieren wird unkontrolliert Entropie mit der Umgebung ausgetauscht. Der hydraulische Zugang des Carnotors ist aktiviert und der thermische auf Freilauf geschaltet. Die innere Energie bleibt infolge gleich bleibender Temperatur konstant. Deshalb ist die Summe aus thermischem und mechanischem Energiestrom gleich null. Bei der isothermen Prozessführung wird also Arbeit vollständig in Wärme bzw. Wärme vollständig in Arbeit umgewandelt. Bildlich gesprochen wird bei der Kompression die mechanisch zugeführte Energie auf die abfliessende Entropie umgeladen. Bei der Expansion wird die mit der Entropie zugeführte Energie an einen mechanischen Träger (Impuls oder Volumen) abgegeben, wobei die Entropie im sich vergrössernden Volumen gespeichert bleibt.
Das isotherme Komprimieren oder Expandieren von idealem Gas wird durch folgende Gleichungen beschrieben
| Prozess | thermisch | kalorisch | entropisch |
|---|---|---|---|
| isotherm | [math]pV=nRT[/math] = konst. | [math]\Delta W=0[/math] | [math]\Delta S=nR\ln{\frac{V_2}{V_1}}[/math] |
Das Produkt aus Volumen und absolutem Druck bleibt konstant. Die Arbeit lässt sich, wie in der letzten Vorlesung gezeigt, durch direkte Integration der Druck-Volumen-Beziehung berechnen oder über die Wärme, die bei konstanter Temperatur gleich ausgetauschte Entropie mal diese Temperatur ist
- [math]W_{mech}=-W_{therm}=-TS_{aus}=-T\Delta S=nRT\ln{\frac{V_1}{V_2}}[/math]
Carnot-Zyklus
Der Carnot-Zyklus wurde erstmals 1824 von Sadi Carnot in der berühmt gewordenen Publikation über die bewegende Kraft des Feuers (Réflexions sur la puissance motrice du feu) veröffentlicht. Dabei vertrat Carnot die Hypothese, dass die Wärme (chaleur) wie das fallende Wasser eine bewegende Kraft entfaltet, sobald sie über ein Temperaturgefälle fliesst. Identifiziert man die Wärme mit der Entropie und die bewegende Kraft mit der Energie, hat Carnot eine äusserst tragfähiges Modell thermischer Prozesse entwickelt.
Beim Carnot-Zyklus wird Wärme über eine isotherme Expansion eines Arbeitsgases aus einem heissen Wärmebad entnommen (hier ist mit Wärme - entsprechend der Vorstellung von Carnot - die Entropie gemeint). Danach wird das Gas isentrop entspannt, bis es die Temperatur eines zweiten, kalten Wärmebades erreicht hat. An dieses Bad gibt das Gas die aufgenommene Wärme bei konstant gehaltener Temperatur wieder ab. Danach wird das Arbeitsgas ohne weiteren Wärmeaustausch auf die ursprünglich Temperatur gedrückt.
Nummeriert man die "Eckpunkte" des Carnot-Zyklus mit 1, 2, 3, 4, ergibt sich die folgende Beschreibung
| Prozess | thermische Beschreibung | Entropie | Energie |
|---|---|---|---|
| isotherme Expansion 1 nach 2 | [math]pV=nRT_{12}=konst[/math] | [math]\Delta S=nR\ln{\frac{V_2}{V_1}}[/math] | Wärme = [math]nRT_{12}\ln{\frac{V_2}{V_1}}[/math] = -Arbeit |
| isentrope Expansion 2 nach 3 | [math]\left(\frac{V_3}{V_2}\right)^{\kappa-1}=\frac{T_{12}}{T_{34}}[/math] | [math]\Delta S=0[/math] | Arbeit = [math]n\hat c_V(T_{34}-T_{12})[/math] |
| isotherme Kompression 3 nach 4 | [math]pV=nRT_{34}=konst[/math] | [math]\Delta S=nR\ln{\frac{V_4}{V_3}}[/math] | Arbeit = [math]nRT_{34}\ln{\frac{V_3}{V_4}}[/math] = -Wärme |
| isentrope Kompression 4 nach 1 | [math]\left(\frac{V_1}{V_4}\right)^{\kappa-1}=\frac{T_{34}}{T_{12}}[/math] | [math]\Delta S=0[/math] | Arbeit = [math]n\hat c_V(T_{12}-T_{34})[/math] |
Der hydraulische Zugang (Port) des Carnotors ist beim Carnot-Zyklus immer aktiv. Der thermische Zugang wird entweder auf geschlossen (isentrop) oder auf Freilauf geschaltet (isotherm). Weil die bei hoher Temperatur zugeführte Entropie der bei tiefer wieder abgegebenen entspricht, folgt für die Volumen in den vier Eckpunkten
- [math]\frac {V_2}{V_1}=\frac {V_3}{V_4}[/math]
Der Carnot-Zyklus ist durch die Temperatur der beiden Wärmebäder, das minimale und das maximale Volumen sowie den Isentropenexponenten des Arbeitsgases (κ) festgelegt.
Zur Simulation im Carnotor teilt man die gesamte Simulationszeit in vier gleich grosse Abschnitte ein. Zudem berechnet man mit Hilfe der oben aufgeführten Formeln aus den gewählten Werten (Temperaturen der Wärmebäder, grösstes und kleinstes Volumen) die beiden andern Volumen. Daraus ergeben sie die Volumenströme für die vier Teilprozesse. Der thermische Anschluss ist während diesen vier Zeitspannen entweder mit einem der beiden Wärmebäder zu verbinden (isotherme Prozesse) oder zu schliessen (isentrope Prozesse).
Die erste Graphik zeigen den thermischen (schwarz) und den mechanischen (rot) Energiestrom sowie die Änderung der inneren Energie (grün). Die andern Bilder zeigen die beiden grundlegenden statischen Diagramme (T-S- und p-V-). Die Fläche unter dem Temperatur-Entropie-Diagramm entspricht der zugeführten Wärmeenergie, die Fläche unter dem Druck-Volumen-Diagramm der abgeführten Arbeit. Die beiden eingeschlossenen Flächen sind energetisch äquivalent.
-
Energie
-
T-S-Diagramm
-
p-V-Diagramm
Stirling-Zyklus
Der Stirling-Zyklus unterscheidet sich vom Carnot-Zyklus durch isochore statt isentrope Prozessführung. In beiden Zyklen dienen diese Prozesse der Anpassung der Temperatur des Arbeitsgases an die der Wärmebäder. Die beiden eigentlichen Arbeitstakte, in denen das Gas Entropie bei hoher Temperatur aufnimmt und bei tiefer wieder abgibt, sind identisch. Der Stirling-Zyklus wird in den Stirlingmotoren näherungsweise realisiert.
Nummeriert man die "Eckpunkte" des Stirling-Zyklus mit 1, 2, 3, 4, ergibt sich die folgende Beschreibung
| Prozess | thermische Beschreibung | Entropie | Energie |
|---|---|---|---|
| isotherme Expansion 1 nach 2 | [math]pV=nRT_{12}=konst[/math] | [math]\Delta S=nR\ln{\frac{V_2}{V_1}}[/math] | Wärme = [math]nRT_{12}\ln{\frac{V_2}{V_1}}[/math] = -Arbeit |
| isochore Abkühlung 2 nach 3 | [math]\frac{p}{T}=\frac{nR}{V_{23}}=konst.[/math] | [math]\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_{34}}{T_{12}}}[/math] | Wärme = [math]n\hat c_V(T_{34}-T_{12})[/math] |
| isotherme Kompression 3 nach 4 | [math]pV=nRT_{34}=konst[/math] | [math]\Delta S=nR\ln{\frac{V_4}{V_3}}[/math] | Arbeit = [math]nRT_{34}\ln{\frac{V_3}{V_4}}[/math] = -Wärme |
| isochore Erwärmung 4 nach 1 | [math]\frac{p}{T}=\frac{nR}{V_{41}}=konst.[/math] | [math]\Delta S=n\hat c_V\ln{\frac{T_{12}}{T_{34}}}[/math] | Wärme = [math]n\hat c_V(T_{12}-T_{34})[/math] |
Der hydraulische Zugang (Port) des Carnotors ist beim Stirling-Zyklus nur noch bei den beiden isothermen Prozessen aktiv. In den beiden isochoren Prozessen ist er geschlossen. Der thermische Port ist bei den beiden isothermen Prozessen wie beim Carnot-Zyklus auf Freilauf geschaltet (isotherm). In den beiden isochoren Prozessen ist der thermische Port aktiv.
Der Unterschied zwischen dem Carnot- und dem Stirling-Zyklus liegt in den beiden "blinden" Prozessen, die nur der Temperaturveränderung zwischen den beiden Hauptprozessen (Entropie bei hoher Temperatur aufnehmen und bei tiefer wieder abgeben) dienen. Im Carnot-Zyklus wird die durch die Änderung der inneren Energie bedingte, abzugebende oder aufzunehmende Energie mechanisch zwischengespeichert. Im Stirling-Zyklus wird diese Energie zusammen mit der Entropie bei unterschiedlicher Temperatur abgegeben und wieder aufgenommen. Würde die Wärme beim Aufheizen des Arbeitsgases vom warmen Bad zugeführt und beim Abkühlen an das kalte abgegeben, käme dies einer nutzlosen Wärmeübertragung vom heissen zum kalten Bad gleich. Die dabei produzierte Entropie wäre dann gleich der an das kalte Bad abgegebene Entropie minus die vom warmen aufgenommenen (bei konstant gehaltener Temperatur ist die ausgetauschte Entropie gleich der Wärmeenergie durch die absolute Temperatur)
- [math]S_{prod}=n\hat c_V(T_{12}-T_{34})\left(\frac{1}{T_{34}}-\frac{1}{T_{12}}\right)[/math]
Diese Entropie wird beim hinunter Fliessen der Entropie vom warmen Bad über das Arbeitsgas ans kalte Bad produziert (jedes unkontrollierte hinunter Plätschern einer Primärgrösse erzeugt Entropie). Um dies zu verhindern, arbeiten Stirling-Motoren mit einem Zwischenspeicher, Regenerator genannt. Im Regenerator wird die Entropie beim isochoren Abkühlen zwischengespeichert und beim isochoren Heizen wieder abgeholt. Der Regenerator bildet dabei eine Abfolge von kleinen Wärmespeichern unterschiedlicher Temperaturen. Im Idealfall wird die Entropie exakt bei der Temperatur zwischengelagert, bei der sie vom Arbeitsgas abgegeben wird.
Der Stirling-Zyklus ist durch die Temperatur der beiden Wärmebäder, die beiden Grenzvolumen sowie den Isentropenexponenten des Arbeitsgases (κ) festgelegt.
Zur Simulation im Carnotor teilt man die gesamte Simulationszeit in vier gleich grosse Abschnitte ein. Aus den beiden Volumen und diesem Zeitabschnitt ergeben sich die Volumenströme der isothermen Prozesse. Zudem berechnet man mit Hilfe der oben aufgeführten Formeln die Entropieänderung in den beiden isochoren Prozessen. Daraus ergeben sie die zugehörigen Entropieströme.
Die erste Graphik zeigen den thermischen (schwarz) und den mechanischen (rot) Energiestrom sowie die Änderung der inneren Energie (grün). Die andern Bilder zeigen die beiden grundlegenden statischen Diagramme (T-S- und p-V-). Die Fläche unter dem Temperatur-Entropie-Diagramm entspricht der zugeführten Wärmeenergie, die Fläche unter dem Druck-Volumen-Diagramm der abgeführten Arbeit. Die beiden eingeschlossenen Flächen sind energetisch äquivalent.
-
Energie
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T-S-Diagramm
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p-V-Diagramm
Joule-Zyklus
Der Joule-Zyklus wird in Gasturbinen und Strahltriebwerken näherungsweise realisiert. Um den Zyklus zu verstehen, greifen wir eine bestimmte Menge Gas heraus. Im ersten Schritt wird das Gas isentrop verdichtet. Danach wird es bei hoher Temperatur isobar geheizt, um dann wieder isentrop entspannt zu werden. Das ausgestossene Gas kühlt schlussendlich bei Umgebungsdruck auf Umgebungstemperatur ab. Die Massenzunahme des Arbeitsgases durch Zufuhr des Brennstoffes wird vernachlässigt. Zudem stellt man sich vor, dass das Gas in einem geschlossenen Kreis herum geführt wird, damit alle vier Teilprozesse quasistatisch, also reversibel, beschrieben werden dürfen.
Im Unterschied zum Carnot-Zyklus und zum Stirling-Zyklus beginnen wir mit der Nummerierung vor der isentropen Kompression, weil die Luft zuerst den Kompressor durchläuft
| Prozess | thermische Beschreibung | Entropie | Energie |
|---|---|---|---|
| isentrope Kompression 1 nach 2 | [math]\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_{23}}{p_{41}}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}[/math] | [math]\Delta S=0[/math] | Arbeit = [math]n\hat c_V(T_{2}-T_{1})[/math] |
| isobares Heizen 2 nach 3 | [math]\frac VT=\frac {nR}{p_{23}}=konst[/math] | [math]\Delta S=n\hat c_p\ln{\frac{T_3}{T_2}}[/math] | Wärme = [math]\Delta H_{12}=n\hat c_p(T_3-T_2)[/math] |
| isentrope Expansion 3 nach 4 | [math]\frac{T_{4}}{T_{3}}=\left(\frac{p_{41}}{p_{23}}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}[/math] | [math]\Delta S=0[/math] | Arbeit = [math]n\hat c_V(T_{4}-T_{3})[/math] |
| isobares Kühlen 4 nach 1 | [math]\frac VT=\frac {nR}{p_{41}}=konst[/math] | [math]\Delta S=n\hat c_p\ln{\frac{T_1}{T_4}}[/math] | Wärme = [math]\Delta H_{41}=n\hat c_p(T_1-T_4)[/math] |
Der hydraulische Zugang (Port) des Carnotors ist beim Joule-Zyklus nur bei den beiden isentropen Prozessen aktiv. In den beiden isobaren Prozessen wird er auf Freilauf geschaltet. Der thermische Port ist in den beiden isobaren Prozessen aktiv und bei den beiden isentropen geschlossen. Weil die zugeführte Entropie der wieder abgegebenen entspricht, folgt für die Temperaturen in den vier Eckpunkten
- [math]\frac {T_3}{T_2}=\frac {T_4}{T_1}[/math]
Der Joule-Zyklus ist durch den Druck der Umgebung und den Druck in der Brennkammer, die Temperatur der Umgebung und der Maximaltemperatur der Brennkammer sowie den Isentropenexponenten des Arbeitsgases (κ) festgelegt.
Zur Simulation im Carnotor teilt man die gesamte Simulationszeit in vier gleich grosse Abschnitte ein. Der thermische Port ist während der beiden adiabatischen Prozesse geschlossen. In den beiden andern Prozessen fliesst dort ein Entropiestrom, der aus der zugehörigen Entropieänderung und dem zugehörigen Zeitabschnitt berechnet wird. Der hydraulischen Port ist während der beiden isobaren Prozessen auf Freilauf gesetzt. In den beiden andern Prozessen wird ein Volumenstrom aufgeprägt, dessen Stärke gleich der zugehörigen Volumenänderung dividiert durch den Zeitabschnitt ist.
Die erste Graphik zeigen den thermischen (schwarz) und den mechanischen (rot) Energiestrom sowie die Änderung der inneren Energie (grün). Die andern Bilder zeigen die beiden grundlegenden statischen Diagramme (T-S- und p-V-). Die Fläche unter dem Temperatur-Entropie-Diagramm entspricht der zugeführten Wärmeenergie, die Fläche unter dem Druck-Volumen-Diagramm der vom Gas in Form von Arbeit abgegebenen Energie. Die in den beiden Diagrammen vom Kreisprozess umschlossenen Flächen sind energetisch äquivalent.
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Energie
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T-S-Diagramm
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p-V-Diagramm
Kontrollfragen
- Wie muss der Carnotor bei einem isochoren, isobaren, isentropen und isothermen Prozess beschaltet werden?
- In welchem der vier Prozesse ändert sich die Energie des Gases nicht?
- In welchem der vier Prozesse ändert sich die Entropie des Gases nicht?
- In welchem Prozess wird Wärme vollständig in Arbeit umgewandelt? Wie ist das möglich?
- Worin unterscheidet sich der Stirling-Zyklus vom Carnot-Zyklus? In welcher Beziehung sind die beiden Prozesse gleich?
- Aus welchen Teilprozessen setzt sich der Joule-Zyklus zusammen?
- In einem Strahltriebwerk durchläuft die Luft näherungsweise einen Joule-Zyklus. Ordnen Sie jeden der vier Teilprozesse einem Bereich im Strahltriebwerk zu. Woher kommt die Entropie und wohin geht sie?
Antworten zu den Kontrollfragen
- Die beiden Anschlüsse des Carnotors (Ports) sind wie folgt zu beschalten:
- isochor: thermischer Port aktiv; hydraulischer Port geschlossen
- isobar: thermischer Port aktiv; hydraulischer Port mit Reservoir verbunden
- isentrop: thermischer Port geschlossen; hydraulischer Port aktiv
- isotherm: thermischer Port mit Reservoir verbunden; hydraulischer Port aktiv
- Die Energie des idealen Gases ändert sich bei einem isothermen Prozess nicht, weil die Energie nur von der Temperatur nicht vom Volumen abhängt.
- Die Entropie ändert sich bei einem isentropen Prozess nicht.
- Wärme wird bei einer isothermen Expansion vollständig in Arbeit "umgewandelt". Dabei wird Energie zusammen mit der Entropie ins Gas hinein geleitet. Dort bleibt die Entropie hängen und die Energie wird direkt in Form von Arbeit wieder abgegeben.
- Sowohl im Carnot- als auch im Stirling-Zyklus wird dem Arbeitsgas bei einer festen Temperatur Entropie zugeführt und bei einer andern Temperatur wieder entzogen. Die beiden Zyklen unterscheiden sich nur im Übergang zwischen den beiden Temperaturen. Beim Carnot-Zyklus sinkt oder steigt die Temperatur isentrop, beim Stirling-Zyklus wird die Temperatur durch Entzug von Entropie abgesenkt und durch Zufuhr von Entropie wieder erhöht. Die dabei umgesetzte Entropie wird im Regenerator temperaturgerecht zwischengelagert.
- Der Joule-Zyklus besteht aus zwei isobaren und zwei isentropen Prozessen.
- Bei einem Strahltriebwerk wird die Luft zuerst isentrop verdichtet (teilweise durch den Stauvorgang, teilweise mittels eines Kompressors). Danach dehnt sich das Gas unter Zufuhr von direkt erzeugter Entropie isobar aus. Im dritten Teilprozess entspannt sich das Gas wieder isentrop (teilweise in der Turbine, teilweise im beschleunigten Gasstrahl). Der vierte und letzte Teilprozess, die isobare Abkühlung, findet weit weg vom Triebwerk in der umgebenden Luft statt.