Translationsmechanik

Gebiet

Die Translationsmechanik beschäftigt sich mit der Dynamik (Speicher- und Transportvorgänge) des Impulses und der damit verbundenen Bewegung von Körpern. Unter einem Körper verstehen wir eine abgrenzbare Menge "Materie" mit Masse und Volumen. Die Bewegung eines Körpers ist durch die Momentangeschwindigkeit seiner Bestandteile eindeutig beschrieben. Bewegt sich der Körper überall gleich schnell, bezeichnen wir ihn als homogenes System. In diesem Fall genügt die Angabe einer einzigen Geschwindigkeits-Zeit-Funktion zur Beschreibung der Bewegung.

Modellmässig kann man die Körper in Speicher- und Stromelemente unterteilen. Obwohl jeder Körper gleichzeitig Impuls speichert und weiterleitet, macht diese Einteilung Sinn. Zur Erläuterung betrachten wir einen Schnellzug. Beim Anfahren nimmt die Lok Impuls aus der Erde auf und leitet den grösseren Teil an die Wagen weiter. Lok und Wagen bilden die Hauptspeicher, die Antriebsachsen walten als Impulspumpen und die Zugeinrichtung wirkt als sehr guter Impulsleiter mit kleiner Induktivität. Fährt der Zug gegen einen zweiten, leiten die Puffer und die dazu in Serie geschalteten Zerstörungsglieder den Impuls unter Aufnahme von Energie weiter. Wenn man nun die Wagen, die eine Masse von 40 Tonnen aufweisen und sich unter der Belastung nur um wenige Millimeter verformen, als reine Kapazitäten und die Puffer, die gut 100 kg schwer sind und bis zu 110 mm gestaucht werden, als Widerstände mit einer induktiven Wirkung beschreiben, haben wir ein erstes Modell entwickelt, das sich für gewisse Untersuchungen eignet. Dieses Modell lässt sich verfeinern, indem jeder Wagen als Verformungs-Speicher-Verformungs-System beschrieben wird.

Die Felder bilden eine spezielle Klasse von Systemen. In der klassischen Physik kennt man nur das elektromagnetische und das Gravitationsfeld. Diese Felder sind raumfüllend, haben also kein abgegrenztes Volumen, leiten den Impuls mit Lichtgeschwindigkeit weiter und verfügen über ein sehr geringes Speichervermögen. Felder können nur mit den mathematischen Methoden der Kontinuumsphysik beschrieben werden. Der Impulsaustausch zwischen Körper und den Feldern erfolgt über Quellen. Impulsquellen verkoppeln die Systeme volumenmässig, wogegen bei Impulsströmen der Impuls durch die Oberfläche der Körper fliesst.

eindimensional

In der eindimensionalen Translationsmechanik untersucht man nur Bewegungen längs einer Geraden. Mit der Wahl der positiven Koordinatenachse legt man das Vorzeichen für den Impulsinhalt, die Richtung des Impulsstromes, sowie der Geschwindigkeit, des zugehörigen Potenzials, fest. Ein in positive Richtung fliessender Impulsstrom belastet das Leitermaterial auf Druck; eine Zugbelastung weist auf einen Impulsstrom hin, der in negative Richtung, also gegen die Orientierung der Koordinatenachse fliesst.

Impulsbilanz

Ein Körper kann über die Oberfläche mit einem benachbarten Körper oder über Quellen mit einem Feld Impuls austauschen. Die Impulsbilanz besagt, dass die Summe über alle Impulsstromstärken und Impulsquellenstärken gleich der Impulsänderungsrate ist. Zufliessende Ströme und Quellen gehen mit einem positiven Vorzeichen, abfliessende Ströme und Senken mit einem negativen Vorzeichen in die Bilanz ein.

konstitutive Gesetze

Die träge Masse wirkt als Kazität, d.h. der Quotien aus Impulsinhalt und Masse definiert die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes (dynamische Geschwindigkeit).

Resistive Elemente leiten den Impuls über ein Geschwindigkeitsgefälle. Mit der Geschwindigkeitsdifferenz-Impulsstromstärke-Funkton oder umgekehrt mit der Impulsstromstärke-Geschwindigkeits-Funktion wird das dynamische Verhalten eines Widerstandselementes vollständig beschrieben.

Federelemente verhalten sich induktiv, werden aber meist durch die Impulsstromstärke-Verformungs-Funktion beschrieben.

Die Berechnung des Ortes aus der Geschwindigkeit bzw. der Verformung aus der Geschwindigkeitsdifferenz durch eine Integration über die Zeit ist eine rein geometrische oder kinematische Angelegenheit. Hinter der Gleichsetzung der dynamischer Geschwindigkeit (Quotient aus Impulsinhalt und Masse) mit der kinematischen Geschwindigkeit (Änderungsrate des Ortes) steckt aber auch ein konstitutives Gesetz, das in der Quantenmechanik so nicht mehr gültig ist.

Rolle der Energie

Ein Impulsstrom ist von einem Energiestrom begleitet, sobald sich die Referenzfläche bewegt. Die Geschwindigkeit der Referenzfläche ordnet der Impulsstromstärke eine Energiestromstärke zu

Energiestromstärke = Geschwindigkeit mal Impulsstromstärke

Die Geschwindigkeit ist das Energiebeladungsmass des Impulsstromes. Fliesst der Impulsstrom durch einen sich verformenden Körper, setzt er eine Prozessleistung um

Prozessleistung = Geschwindigkeitsdifferenz mal Impulsstromstärke

Die Energie, die zusammen mit dem Impuls in einem Körper gespeichert wird, nennt man kinetische Energie. Der momentanen Wert der kinetischen Energie kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden:

kinetische Energie = halbe Geschwindigkeit mal Impulsinhalt

Die Energiebetrachtung bildet eine zweite Ebene, die vollständig aus dem dynamischen Modell abgeleitet werden kann.

Beispiel

Der frontale Aufprall eines Auto Autos gegen ein zweites soll modelliert werden. In einer ersten Modellierung schalten wir den Einfluss der Strasse aus (Glatteis) und zerlegen beide Autos in ein Speicherelement und ein Stromelement (Knautschzone). Die Speicherelemente wirken mit ihrer träge Masse kapazitiv, die Stromelemente induktiv-resistiv. Das Verhalten der Stromelemente lässt sich am besten mit einer Impulsstromstärke-Verformungs- und einer Impulsstromstärke-Geschwindigkeits-Funktion beschreiben, wobei die letztgenannte zusammen mit dem Anteil der Hysterese der ersten den resistiven Anteil ausmacht.

Stellt man diesen frontalen Stoss im Flüssigkeitsbild dar, wird erkennbar, dass weder der Gesamtimpuls noch die kinetische Energie den Umfang des Blechschadens bestimmen. Nur die vom Impuls freigesetzte Energie führt zur "Verformunsarbeit". Die Basisstruktur des systemdynamischen Modells kann direkt dem Flüssigkeitsbild entnommen werden.

formelmässige Beschreibung

Gesetz	Formel	Einheiten	Bemerkung
Impulsbilanz	Σi Ipxi + Σpx = dppx/dt	N = N	Σpx Quellenstärke
Speichergesetz	px = m vx	Ns = kg m/s	definiert Geschwindigkeit des MMP
viskose Reibung	Ipx = Gpx Δvx	N = kg/s m/s	Gpx: Leitwert
viskose Reibung	Δvx = Rpx Ipx	m/s = s/kg N	Rpx: Widerstand
turbulente Reibung	Ipx = kpx abs(Δvx) Δvx	N = kg/m m/s m/s	kpx: Beiwert
Trockenreibung	Ipx = Ipx0 sgn(Δvx)	N = N 1	Ipx0: "Reibkraft"
induktives Gesetz	dIpx/dt = Δvx / Lpx	N/s = kg/s2 m/s	nur bei linearem Verhalten sinnvoll
Federgesetz	Ipx = D Δx	N = kg/s2 m	D = 1/Lpx
Impulsquelle G	Σpx = m gx	N = kg N/kg	Gewichts-, Gravitations oder Schwerkraft
Impulsquelle E	Σpx = Q Ex	N = As N/As	elektrische Kraft
Ortsberechnung	x = ∫ vxdt	m = m/s s	Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigen
Verformung	Δx = ∫ Δvxdt	m = m/s s	Länge = Anfangslänge plus Verformung
zugeordneter Energiestrom	IW = vx Ipx	W = N m/s	Leistung einer Kraft
Prozessleistung	P = Δvx Ipx	W = N m/s	Umsatz über Stromglied
kinetische Energie	Wkin = vx_halbe px = m/2 (vx)2	J = kg m2/s2	freigesetzt, falls Impuls an Erde abfliesst

Punktmechanik

Zur Formulierung der vollen Dynamik in der Ebene oder im Raum müssen die Translations- und die Rotationsmechanik zusammengefügt werden. Beschränkt man sich auf die Bewegung von Körpern im Gravitations- oder elektromagnetischen Feld, erhält man die älteste Modellstruktur der Physik, die Newton- oder Punktmechanik.

Modell

Die als punktförmig zu betrachtenden Körper (Masse m) tauschen über das Gravitationsfeld und das elektromagnetische Feld Impuls miteinander aus. Die Bewegung der "Massenpunkte" wird relativ zu einem absoluten Raum beschrieben. Die Summe der kinetischen und potenziellen Energien bleibt konstant, da mangels Reibungselemente keine Dissipation stattfindet.

Struktur

In der Punktmechanik werden die Stärken der Impulsquellen als Kräfte bezeichnet. Die Impulsbilanz (Summe über alle Kräfte ist gleich Änderungsrate des Impulsinhaltes) wird mit dem Kapazitivgesetz (Impulsinhalt gleich träge Masse mal Geschwindigkeit) verschmolzen. Die resultiernde Kraft, die Summe über alle Einzelkräfte, wird so dem Produkt aus Masse und Beschleunigung (Änderungsrate der Geschwindigkeit) gleich gesetzt. Weil die schwere Masse zusammen mit der Gravitationsfeldstärke die Grösse der Gravitationskraft festlegt, kürzt sich die Masse aus allen Gleichungen heraus, solange nur das Gravitationsfeld mit einbezogen wird.

Erweiterungen und Grenzen

Die Punktmechanik ist auf frei bewegliche Körper im Gravitations- und elektromagnetischen Feld anwendbar (Himmelskörper, Wurf im Vakuum, elektrisch geladene Teilchen im äusseren elektromagnetischen Feld). Diese Modellstruktur kann um ein paar Einflussgrösse wie Luftreibungskraft, viskose Reibung oder Zwangs- und Führungskräfte erweitert werden. Nähert sich der Körper der Lichtgeschwindigkeit oder erfährt ein geladener Körper grosse Beschleunigungen, gelten die Gesetze der Punktmechanik nicht mehr. Weil die Punktmechanik vor der industriellen Revolution entwickelt worden ist, übte sie grossen Einfluss auf die Entwicklung der technischen Mechanik aus. Das Übertragen der punktmechanischen Struktur auf Alltagsphänomene hat zu enormen Verständnisschwierigkeiten bei den Schülern und zu grossen Problemen bei der Entwicklung neuer Technologien geführt. Dank der computergestützten Modellbildung und Simulation kann heute mit der Physik der dynamischen Systeme eine ausgereiftere Modellstrukturen in der Ausbildung vermittelt und in der Technik angewendet werden.

formelmässige Beschreibung

Gesetz	Formel	Einheiten	Bemerkung
Grundgesetz	Σi Fi = m a = m d2x/dt2	N = kg m/s2	vektorielle Beschreibung
Wechselwirkungsprinzip	F12 = -F21	N = N	Impuls geht nicht verloren
Gewichtskraft	FG = m g	N = kg N/kg	Wirkung des Gravitationsfeldes
elektromagnetische Kraft	FL = Q (E + v x B)	N = C N/C = C m/s T	Wirkung des elektromagnetischen Feldes
Gravitationsfeld von m	g = -G m/r2 r/r	N/kg = m3 /(kg s2)	kugelsymmetrische Massenverteilung
elektrische Feldstärke	E = 1/(4πε0) Q/r2 r/r	N/C = m/H C/m2	Punktladung
Stärke des Magnetfeldes	B = μ0/(4π) I/r2 r/r x dl	T = m/F A/m2	stromführender Leiter der Länge dl

Newtonmechanik

Die von Isaac Newton entwickelte Mechanik entspricht der hier dargelegten Punktmechanik mit Ausnahme des elektromagnetische Feldes. Wer genau wissen will, was Newton geschrieben hat, halte sich an die Originaltexte.

Das ersten Axiom von Newton besagt, dass ein Körper in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, gradlinigen Bewegung verharrt, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist. Mit diesem Axiom, dass sich auf die Arbeiten von Galileo Galilei abstützt, hat Newton die Wirkung des absoluten Raumes beschrieben. Wer nun in einem antriebslosen Raumschiff oder in einem andern frei fallenden System unterwegs ist, wird bei einem frei schwebenden Körper aber auch feststellen, dass dieser in seinem Zustand der geradlinigen Bewegung oder dem Zustand der Ruhe verharrt. Folglich sollte man heute die Definition von Einstein verwenden, wonach alle frei fallenden Systeme lokal inertial sind.

Das zweite Axiom, das Grundgesetz oder Aktionsprinzip, verknüpft die Impulsbilanz mit dem Kapazitivgesetz. Mit dieser Verknüpfung wird die Modellstruktur der Translationsmechanik gewaltig eingeengt.

Das dritte Axiom, das Wechselwirkungsprinzip, garantiert die Impulserhaltung in einem System von Massenpunkten. Das Axiom verlangt zum Beispiel, dass die Erde die Sonne mit der betragsmässig gleichen Kraft anzieht wie die Sonne die Erde. Diese Forderung, die Newton selber zutiefst verunsichert hat, postuliert eine instantane Wechselwirkung zwischen allen Körpern des Universums.

Mit der Einführung des elektromagnetischen Feldes durch Faraday ist die elektromagnetische Wechselwirkung im Sinne von Newton weggefallen. Einstein hat etwa ein Menschenalter später mit seiner Allgemeinen Relativitätstheorie der gravitativen Fernwirkung den Todesstoss verstetzt. Weil die Gravitation nur noch geometrisch, nämlich als Krümmung der Raum-Zeit, in Erscheinung tritt und die Gravitation die einzige von Newton beschriebene Wechselwirkung ist, kann man aus heutiger Sicht sagen, dass Newton die Natur wohl meisterhaft sezierte, aber leider nur den Blinddarm gefunden hat. Die ganze Theorie von Newton beschreibt eigentlich nur die Bewegungen von kräftefreien Körpern in einer gekrümmten Raum-Zeit.

Beispiele

• Kreisbewegung
• Planetenbewegung
• zwei Sterne und ein Planet
• Reise zum Mond

Relativität

Die dynamische Struktur der Translationsmechanik lässt sich problemlos auf die spezielle Relativitätstheorie ausdehnen. Als einziges zusätzliches Gesetz kommt die Äquivalenz von Masse und Energie dazu. Masse und Energie sind nun nur noch zwei verschiedene Wörter für die gleiche physikalische Grösse. Dass wir die Energie und die Masse in verschiedenen Einheiten messen, hat praktische Gründe und hängt mit unserem Erfahrungshintergrund zusammen, der uns ja auch dazu gebracht hat, Raum und Zeit in verschiedenen Einheiten anzugeben.

Bilanzgleichungen und Bezugssystem

In der Relativitätstheorie schwebt die Energiebilanz nicht mehr als zweite Ebene über der Dynamik. Die Energie- oder Massenbilanz steht nun gleichwertig neben der Impulsbilanz. Die Bilanzgleichungen sind weiterhin bezüglich eines Bezugssystems (Weltsystem) aufzustellen. Üblicherweise besitzt das Bezugssystem eine so grosse Impulskapazität, dass es nicht auf die Aufnahme oder Abgabe von Impuls reagiert.

Bei einem Wechsel des Bezugssystems können Grössen wie Länge, Zeitabschnitt, Masse, Impuls- oder Energiestromstärke ihren Wert ändern. Solche Effekte treten aber auch in der nichtrelativistischen Mechanik auf. Beschreibt man zum Beispiel den Rangierstoss aus der Sicht eines Bahnangestellten, der auf einem der beiden Güterwagen steht, nehmen nicht nur der Impuls und die Energie der Wagen andere Werte an. Der Bähnler erfährt auch eine um das Trägheitsfeld erweiterte Gravitation, also ein um die Trägheitskraft ergänztes Gewicht. Dieser Effekt, die bezugssystemabhängige Veränderung der Gravitation, kann einen Piloten zu fatalen Fehlern verleiten. Deshalb sollte man das Bezugssystem nur wechseln, wenn die Prozesse einfacher zu beschreiben sind und wenn man weiss, wie sich die einzelnen Grössen transformieren.

konstitutive Gleichungen

Das kapazitive Gesetz, wonach der Quotient aus Impuls und Masse die dynamische Geschwindigkeit ergibt, bleibt weiterhin gültig. Nur verhält sich die Masse als Kapazität anders als etwa die Entropiekapazität. Das Verhalten eines Entropiespeichers kann im Flüssigkeitsbild durch ein Gefäss mit höhenabhängigem Querschnitt dargestellt werden, wogegen der Impulsspeicher in diesem Bild immer als Zylinder erscheint, der seinen Querschnitt mit der Zufuhr von Energie/Masse erweitert. Deshalb definiert man die Entropiekapazität differentiell, wogegen die Masse immer gleich Gesamtimpuls dividiert durch die momentane Geschwindigkeit ist.

Der Zusammenhang zwischen Impuls- und Energietransport gehört nun auch zu den konstitutiven Gesetzen, wobei die Formeln für den zugeordneten Energiestrom wie auch für die Prozessleistung gültig bleiben. Nur muss man darauf achten, dass alle Beziehunten vom gleichen Bezugssystem aus formuliert werden. Weil in der Relativitätstheorie die Geschwindigkeiten nicht mehr vektoriell zusammengezählt werden dürfen, kann man einen Prozess nicht einfach bezüglich einer Rakete beschreiben und dann ohne Anpassung auf die Sicht eines aussenstehenden Beobachters übertragen.

Strombezogene Gesetze wie die Beschreibung einer Reibschicht oder einer Feder können theoretisch formuliert werden, nur wird man kaum einen Bezug zur Praxis finden. Weil die Gravitation mit den nicht ganz einfachen Gesetzen der Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden muss, bleibt eigentlich nur das elektromagnetische Feld als Impulspumpe. Das elektromagnetische Kraftgesetz, die Lorentzkraft, bleibt in der gewohnten Form gültig. Der Umstand, dass eine beschleunigte Ladung strahlt, kann in einer ersten Näherung weggelassen werden.

formelmässige Beschreibung

Gesetz	Formel	Einheiten	Bemerkung
Impulsbilanz	Σi Ipxi + Σpx = dppx/dt	N = N	Σpx Quellenstärke
Impulsbilanz	Σi Fi = dp/dt	N = N	koordinatenfreie Formulierung
Massenbilanz	Σi Imi = dm/dt	N = N	Σpx Quellenstärke
Speichergesetz	px = m vx	Ns = kg m/s	definiert die dynamische Geschwindigkeit
Impulsquelle G	Σpx = m gx	N = kg N/kg	bedingt anwendbar
Impulsquelle E	Σpx = Q Ex	N = As N/As	elektrische Kraft
Lorentzkraft	FL = Q (E + v x B)	N = C N/C = C m/s T	Wirkung des elektromagnetischen Feldes
Ortsberechnung	x = ∫ vxdt	m = m/s s	Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigen
zugeordneter Energiestrom	IW = vx Ipx	W = N m/s	IW = Im c2
Prozessleistung	P = Δvx Ipx	W = N m/s	Umsatz über Stromglied
Energie	W = m c2	J = kg m2/s2	Energie des Körpers
kinetische Energie	Wkin = (m - m0) c2	J = kg m2/s2	freigesetzt, falls Impuls an Bezugssystem abfliesst