Impulsbilanz bei offenen Systemen

Ein offenes System kann den Impuls über die Oberfläche (leitungsartig), über das Volumen (quellenartig) und zusammen mit der Materie (konvektiv] austauschen. Die Strom- und die Quellenstärken des Impulsaustausches nennt man Kraft. Der konvektive Impulstransport spielt bei Triebwerken (Raketen- und Strahltriebwerken) ein dominierende Rolle. Auch beim Propellerantrieb und beim dynamischen Auftrieb wird ein beachtlicher Teil des Impulses konvektiv, also zusammen mit dem strömenden Fluid transportiert.

In der technischen Mechanik steht die Impulsbilanz in Form des Grundgesetzes der Mechanik im Zentrum. Nimmt man die konvektiven Ströme dazu, erhält man eine saubere Formulierung der Impulsbilanz, mit der eine grosse Zahl von technischen Anwendungen erklärt werden kann.

Lernziele

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Bilanzgleichungen

Offene Systeme tauschen Stoffe mit der Umgebung aus. Dieser Austausch muss mit Hilfe einer Bilanz beschrieben werden. Entweder bilanziert man die Stoffmenge, das Volumen oder die Masse der über die Systemgrenze fliessenden Stoffe. Wir beschränken uns hier neben der Impulsbilanz auf die Massenbilanz. Die konvektiven Impulsströme sind dann über die Geschwindigkeit dieser Ströme mit den Massenströmen verknüpft. Bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems erhält man so vier Bilanzgleichungen

[math]\sum_i F_{x_i}+mg_x+\sum_j v_{x_j} I_{m_j}=\dot p_x[/math]

[math]\sum_i F_{y_i}+mg_y+\sum_j v_{y_j} I_{m_j}=\dot p_y[/math]

[math]\sum_i F_{z_i}+mg_z+\sum_j v_{z_j} I_{m_j}=\dot p_z[/math]

[math]\sum_i I_{m_i}=\dot m[/math]

Wählt man die z-Richtung nach unten, entfallen die beiden mittleren Terme in den ersten beiden Bilanzgleichungen. Den Nutzen dieser verallgemeinerten Impulsbilanzen erkennt man eigentlich erst in den Anwendungen, wobei in der Regel nicht alle vier Gleichungen benötigt werden.

Strahltriebwerk

Ein Strahltriebwerk entzieht der Luft Impuls, um eine Schubkraft auf das Flugzeug auszuüben. Wählt man die positive Bezugsrichtung nach vorn, lauten die beiden Bilanzgleichungen

[math]F_{Druck}+F_{Schub}+v_1 I_{m_1}+v_2 I_{m_2}=0[/math]

[math]I_{m_1}+I_{m_2}+I_{m_{Treibstoff}}=0[/math]

Vernachlässigt man die resultierende Druckkraft und den Massenstrom des Treibstoffes, reduziert sich die Impulsbilanz auf

[math]-F_{Schub}=(v_1-v_2)I_m[/math]

Die Schubkraft beschreibt den leitungsartigen Impulsabfluss ans Flugzeug. Nimmt man die Schubkraft auf das Flugzeug (Stärke des leitungsartigen Impulsstromes bezüglich des Flugeuges) und die Beträge der beiden Strömungsgeschwindigkeiten, lautet die Gleichung

[math]F_{Schub}=(v_2-v_1)I_m[/math]

Die Schubkraft nimmt proportional zur Massenstromstärke und proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz der durch strömenden Luft zu. Ein grosser Massenstrom oder eine grosse Geschwindigkeitsdifferenz ergeben eine grosse Schubkraft.

Ein Triebwerk muss der Luft nicht nur möglichst viel Impuls entziehen, es sollte dabei auch nicht zu viel Leistung abgeben müssen. Die Luft nimmt, damit sich ihre kinetische Energie erhöht, folgende Prozessleistung auf

[math]P=\left(\frac{\varrho}{2}v_2^2-\frac{\varrho}{2}v_1^2\right)I_m=\frac{v_1+v_2}{2}(v_2-v_1)I_m=-\frac{v_1+v_2}{2}F_{Schub}[/math]

Dieser Sachverhalt lässt sich im Flüssigkeitsbild gut darstellen. Je höher der Impuls aus der wegströmenden Luft hinauf gepumpt werden muss, desto mehr Energie wird benötigt.

Nun schreiben wir die Prozessleistung mit Hilfe der Schubkraft auf das Flugzeug und der Geschwindigkeit des Flugzeuges v

[math]P=\left(v+\frac{\Delta v}{2}\right)F_{Schub}[/math]

Bei gegebenem Schub nimmt die benötigte Leistung mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges und mit der Geschwindigkeitsdifferenz der durchströmenden Luft zu. Die geschwindigkeitsbedingte Leistungszunahme lässt sich nicht vermeiden. Um die Leistung und damit den Treibstoffverbrauch möglichst klein zu halten, baut man heute Triebwerke, die möglichst viel Luft bei geringem Geschwindigkeitszuwachs fördern. Heutige Turbofan-Triebwerke leiten deshalb bis zu 90% der zuströmenden Luft um das eigentliche Triebwerk herum (Nebenstromverhältnis bis 9:1).

Materialien

• Skript Seite 4

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