Fadenpendel: Unterschied zwischen den Versionen
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Ein Fadenpendel besteht aus einem kleinen Körper ([[Masse]] ''m''), der an einer am oberen Ende befestigten Schnur (Länge ''l'') hängt. Vernachlässigt man die Ausdehnung des am Faden hängenden Körpers und die Masse des Fadens sowie alle Reibungseffekte, erhält man das Modell des '''mathematischen Pendels'''. Das methematische Pendel kann als Spezialfall aus dem Modell des [[physisches Pendel|physischen Pendels]] abgeleitet werden. |
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Das mathematische Pendel ist an Schulen so beliebt, weil man dieses Objekt mit Hilfe der eindimensionalen [[Punktmechanik]] glaubt beschreiben zu können. Was dabei herauskommt, ist didaktisch höchst fragwürdig und fachlich meist völlig daneben. |
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Das physische Pendel ist ein [[Rotator]], also ein um eine feste Achse drehbar gelagerter, [[starrer Körper]]. Die Mechanik des Rotators ist ein Hybrid aus [[Translationsmechanik|Translations]]- und [[Rotationsmechanik]]. Dabei vernachlässigt man den leistungsfreien Impulsaustausch über die Achse, schreibt jeder Kraft ein Drehmoment bezüglich der Drehachse zu und fasst Eigen- und Bahndrehimpuls zu einer Einheit zusammen. Folglich wird die ganze [[Bewegungsenergie]] ([[kinetische Energie|kinetische]] und [[Rotationsenergie]]) Rotationsenergie bezeichnet. |
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Im Sinne der Rotatormechanik lässt man nur das Drehmoment der Gewichtskraft als äussere Einwirkung zu. Die Drehimpulsbilanz lautet dann |
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Die [[Massenträgheitsmoment]] besteht aus zwei Termen, wobei der ein die Kapazität des Eigendrehimpulses und der andere die Kapazität des Bahndrehimpulses beschreibt |
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und auf der rechten das Kapazitivgesetz für den Gedamtdrehimpuls ein |
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erhält man eine Differentialgleichung für den Auslenkwinkel φ |
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:<math>m g s \cdot\sin \varphi + J_A \ddot \varphi = 0</math> |
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Für kleine Winkel gilt dann als Näherung die Gleichung für den harmonischen Oszillator |
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:<math>m g s \cdot\varphi + J_A \ddot \varphi = 0</math> |
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Vernachlässigt man die Masse des Fadens und die Ausdehnung des Pendelkörpers, reduziert sich das Massenträgheitsmoment auf <math>J_A = m s^2</math>, womit sich die Gleichung noch einfacher schreiben lässt |
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:<math>\frac {g}{s}\varphi + \ddot \varphi = 0</math> |
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Die Lösung dieser Gleichung ist eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer |
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:<math>T = 2 \pi \sqrt {\frac{s}{g}}</math>, |
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wobei der Abstand ''s'' gerade gleich der Pendellänge ''l'' ist. |
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==Kräfte und Beschleunigung== |
==Kräfte und Beschleunigung== |
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Version vom 12. April 2007, 10:03 Uhr
Ein Fadenpendel besteht aus einem kleinen Körper (Masse m), der an einer am oberen Ende befestigten Schnur (Länge l) hängt. Vernachlässigt man die Ausdehnung des am Faden hängenden Körpers und die Masse des Fadens sowie alle Reibungseffekte, erhält man das Modell des mathematischen Pendels. Das methematische Pendel kann als Spezialfall aus dem Modell des physischen Pendels abgeleitet werden.
Das mathematische Pendel ist an Schulen so beliebt, weil man dieses Objekt mit Hilfe der eindimensionalen Punktmechanik glaubt beschreiben zu können. Was dabei herauskommt, ist didaktisch höchst fragwürdig und fachlich meist völlig daneben.
Modell
Das physische Pendel ist ein Rotator, also ein um eine feste Achse drehbar gelagerter, starrer Körper. Die Mechanik des Rotators ist ein Hybrid aus Translations- und Rotationsmechanik. Dabei vernachlässigt man den leistungsfreien Impulsaustausch über die Achse, schreibt jeder Kraft ein Drehmoment bezüglich der Drehachse zu und fasst Eigen- und Bahndrehimpuls zu einer Einheit zusammen. Folglich wird die ganze Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) Rotationsenergie bezeichnet.
Im Sinne der Rotatormechanik lässt man nur das Drehmoment der Gewichtskraft als äussere Einwirkung zu. Die Drehimpulsbilanz lautet dann
- [math]M_G = \dot L[/math]
Die Massenträgheitsmoment besteht aus zwei Termen, wobei der ein die Kapazität des Eigendrehimpulses und der andere die Kapazität des Bahndrehimpulses beschreibt
- [math]J_A = J + m s^2[/math]
s beschreibt den Abstand des Massenmittelpunktes des Körpers von der Drehachse. Setzt man auf der linken Seite der Drehimpulsbilanz das Drehmoment der Gewichtskraft
- [math]M_G = -m g \sin \varphi[/math]
und auf der rechten das Kapazitivgesetz für den Gedamtdrehimpuls ein
- [math]L = J_A \dot \varphi = (J + m s^2) \dot \varphi[/math]
erhält man eine Differentialgleichung für den Auslenkwinkel φ
- [math]m g s \cdot\sin \varphi + J_A \ddot \varphi = 0[/math]
Für kleine Winkel gilt dann als Näherung die Gleichung für den harmonischen Oszillator
- [math]m g s \cdot\varphi + J_A \ddot \varphi = 0[/math]
Vernachlässigt man die Masse des Fadens und die Ausdehnung des Pendelkörpers, reduziert sich das Massenträgheitsmoment auf [math]J_A = m s^2[/math], womit sich die Gleichung noch einfacher schreiben lässt
- [math]\frac {g}{s}\varphi + \ddot \varphi = 0[/math]
Die Lösung dieser Gleichung ist eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer
- [math]T = 2 \pi \sqrt {\frac{s}{g}}[/math],
wobei der Abstand s gerade gleich der Pendellänge l ist.
Kräfte und Beschleunigung
Fehlkonzepte
