Fadenpendel

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Ein Fadenpendel besteht aus einem kleinen Körper (Masse m), der an einer Schnur (Länge l) hängt. Denkt man sich den am Faden hängenden Körper als Punkt und vernachlässigt die Masse des Fadens sowie alle Reibungseffekte, erhält man das Modell des mathematischen Pendels. Das mathematische Pendel kann als Spezialfall aus dem Modell des Pendels abgeleitet werden.

Weil sich schon Galileo Galilei mit dem Pendel auseinander gesetzt hat, glaubt man dieses Objekt mit Hilfe der eindimensionalen Punktmechanik beschreiben zu können. Was dabei herauskommt, ist didaktisch höchst fragwürdig und fachlich meist völlig daneben.

Theorie

Das physische Pendel ist ein Rotator, also ein um eine feste Achse drehbar gelagerter, starrer Körper. Die Mechanik des Rotators ist ein Hybrid aus Translations- und Rotationsmechanik. Dabei vernachlässigt man den leistungsfreien Impulsaustausch über die Achse, schreibt jeder Kraft ein Drehmoment bezüglich der Drehachse zu und fasst Eigen- und Bahndrehimpuls zu einer Einheit zusammen. Folglich wird die ganze Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) als Rotationsenergie bezeichnet.

Im Sinne der Rotatormechanik lässt man nur das Drehmoment der Gewichtskraft als äussere Einwirkung zu. Die Drehimpulsbilanz lautet dann

[math]M_G = \dot L[/math]

Die Massenträgheitsmoment besteht aus zwei Termen, wobei der eine die Kapazität des Eigendrehimpulses und der andere die Kapazität des Bahndrehimpulses beschreibt

[math]J_A = J + m s^2[/math]

s steht für den Abstand des Massenmittelpunktes von der Drehachse. Setzt man auf der linken Seite der Drehimpulsbilanz das Drehmoment der Gewichtskraft

[math]M_G = -m g s \cdot\sin \varphi[/math]

und auf der rechten das Kapazitivgesetz für den Gesamtdrehimpuls ein,

[math]L = J_A \dot \varphi = (J + m s^2) \dot \varphi[/math]

erhält man eine Differentialgleichung für den Auslenkwinkel φ

[math]m g s \cdot\sin \varphi + J_A \ddot \varphi = 0[/math]

Als Näherung für kleine Winkel gilt dann die Gleichung des harmonischen Oszillators

[math]m g s \cdot\varphi + J_A \ddot \varphi = 0[/math]

Vernachlässigt man die Masse des Fadens und die Ausdehnung des Pendelkörpers, reduziert sich das Massenträgheitsmoment auf

[math]J_A = m l^2[/math]

der Abstand s ist nun gleich der Pendellänge l. Die Gleichung des harmonischen Oszillators vereinfacht sich damit weiter auf

[math]\frac {g}{l}\varphi + \ddot \varphi = 0[/math]

Die Lösung dieser Gleichung ist eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer

[math]T = 2 \pi \sqrt {\frac{l}{g}}[/math]

Kräfte und Beschleunigung

Orientiert man die z-Achse nach unten und die x-Achse nach rechts, führt das Gravitationsfeld mit der Rate m g z-Impuls in den Körper hinein. Dieser Impuls fliess im zeitlichen Mittel vollständig über das Seil weg. Im Seil koppelt der z-Impulsstrom einen x-Impulsstrom ein. Dieser x-Impuls ist dann für die Horizontalbewegung verantwortlich.

Die Stärke der gravitativen Impulsquelle heisst Gewichtskraft und die Stärke des Impulsstromes durch das Seil nennt man Seilkraft. Schneidet man den Pendelkörper frei, findet man somit zwei Kräfte, die Gewichtskraft und die als reine Zwangskraft wirkende Seilkraft. Diese beiden Kräfte sorgen gemeinsam für die Beschleunigung des Pendelkörpers.

Der Pendelkörper bewegt sich auf einer Kreisbahn. Weil nur die Gewichtskraft eine Tangentialkomponente besitzt, ist die Tangentialbeschleunigung gleich der Tangentialkomponente der Gravitationsfeldstärke. Die Normalkomponente der Beschleunigung ergibt sich aus der momentanen Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit hängt wiederum von der Auslenkung des Pendels ab. In der Zerlegung bezüglich der Bahn des Pendelkörpers nehmen die beiden Komponenten der Beschleunigung die folgende Gestalt an

[math]a_t = g \sin(\varphi)[/math]
[math]a_n = 2 g \left(\cos (\varphi) - \cos \left(\varphi_{max}\right)\right)[/math]

Transformiert man diese beiden Komponenten auf das oben eingeführte Koordinatensystem, gilt für die beiden Komponenten der Beschleunigung

[math]a_x = a_t \cos(\varphi) + a_n \sin(\varphi) = g\left(\frac {3}{2}\sin(2\varphi) + 2 \cos \left(\varphi_{max}\right)\sin(\varphi)\right)[/math]
[math]a_z = a_t \sin(\varphi) - a_n \cos(\varphi) = g\left(\sin^2(\varphi) + 2 \cos (\varphi)^2 - 2\cos \left(\varphi_{max}\right)\cos(\varphi)\right)[/math]

Die Beschleunigung und somit auch die Seilkraft verändern sich im Laufe der Bewegung in einer Weise, die nicht unmittelbar einsichtig ist.

Lagrange-Mechanik

Das Fadenpendel lässt sich sehr gut mit dem Formalismus der Lagrange-Mechanik beschreiben. Nimmt man als generalisierte Koordinate den Weg s des Pendelkörpers mit dem Nullpunkt in der Gleichgewichtslage, lautet die Lagrange Funktion

[math]L = \frac{m}{2}\dot s^2 - m g \left(\cos (\left(\frac{s}{l}\right) - \cos \left(\frac{s_{max}}{l}\right)\right)[/math]

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung

[math]\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{s}_i} - \frac{\partial{L}}{\partial s_i} = 0 [/math]

liefert die Lagrange-Funktion

[math]m\ddot s + m g \frac{s}{l} \sin (\left(\frac{s}{l}\right) = 0[/math]

oder für s << l

[math]\ddot s + \frac{g}{l} s = 0[/math]

Fehlkonzepte

"Herleitung" der Schwingungsdauer

Das Fadenpendel lässt sich als Rotator modellieren oder mit Hilfe der Lagrange-Mechanik beschreiben. Wer als Physiklehrer das Fadenpendel in eine quasi-eindimensionalen Punktmechanik (Newton auf Kurve) zwängt, hat nicht nur sein wissenschaftliche Fundament verloren, sondern fügt seinen Schülern nachhaltig Schaden zu. Intelligente Schüler, welcher der nebenstehend abgebildeten "Herleitung" folgen,

  • wissen danach nicht, wie man Kräfte einzeichnet (was sollen die roten Pfeile eigentlich?)
  • werden Kraft und Beschleunigung mit Änderung der Energie statt mit Änderung des Impulses assoziieren
  • werden sich eine unsinnige Zentrifugalkraft basteln, sobald sie länger über die Kreisbewegung nachdenken
  • werden sich ein Leben lang über eine Schule ärgern, die ihren Zöglingen einen halbverdauten Mix aus Newton und Lagrange vorgesetzt hat, um etwas derart triviales wie eine Kugel an einer simplen Schnur zu "erklären".

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