Peltonturbine

Die 'Peltonturbine ist eine Freistrahlturbine für Wasserkraftwerke. Sie wurde im Jahr 1879 von dem amerikanischen Ingenieur Lester Pelton konstruiert (Patent 1880). Pelton modifizierte eine von Samuel Knight entwickelte Turbine und erzielte damit einen höheren Wirkungsgrad. Die Pelton-Turbine wird bei grossen Fallhöhen eingesetzt. Bei 1000 m Höhe fliesst das Wasser gemäss dem Ausflussgesetz von Torricelli mit 140 m/s aus der Düse.

Bei der Pelton-Turbine trifft der Strahl aus einer oder mehreren Düsen auf die Schaufeln des Laufrades. Jedes der bis zu 40 Schaufelblätter ist in zwei Halbschaufeln, so genannte Becher, geteilt. In der Mitte der Schaufeln trifft der Wasserstrahl auf die Mittelschneide und wird danach in die beiden Becher geleitet. Die Becher haben die Funktion, das Wasser in die entgegengesetzte Richtung umzuleiten, damit die kinetische Energie besser ausgenutzt werden kann.

Impulsbilanz

Der aus der Düse austretende Freistrahl habe einen Querschnitt A und eine Geschwindigkeit v . In den Schaufeln der Turbine (Geschwindigkeit c) werde das Wasser reibungsfrei um 180° umgelenkt. Bewegt sich die Schaufel nun halb so schnell wie der Strahl, bleibt das Wasser nach dem Umlenken stehen und fällt bar jeder kinetischen Energie nach unten weg. Folglich nutzt die Peltonturbinn die Energie des Wassers optimal,wenn ihre Schaufeln halb so schnell wie der Wasserstrahl sind.

Untersucht man die Kräfte und Leistungen an der Turbinenschaufel, stösst man auf widersprüchliche Resultate. Um die Kraft F, mit der die Schaufel von der Turbine festgehalten wird, zu berechnen, muss eine Impulsbilanz aufgestellt und gelöst werden. Im Gegensatz zum festen Körper, der seinen Impuls nur über die Oberfläche oder über das Gravitationsfeld austauschen kann, treten bei offenen Systemen zusätzlich noch konvektive Transporte auf. Beim konvektiven Strom werden verschiedene Mengen (Masse, Energie, Impuls, Entropie oder Stoffmenge) zusammen mit der Materie transportiert. Die zugehörigen Stromstärken lassen sich als Dichte der Menge mal Volumenstromstärke schreiben. Folglich berechnet sich die Stärke des konvektiven Impulsstromes als Produkt aus Impulsdichte (Massendichte mal Geschwindigkeit) und Volumenstromstärke (Querschnitt mal Strömungsgeschwindigkeit)

[math]I_{p,conv}=\varrho_p I_V=vI_m=\varrho Av^2[/math]

Gemäss dieser Formel wird die konvektive Impulsstromstärke nie negativ. Impuls kann deshalb von der bewegten Materie nur vorwärts transportiert werden. Bezüglich eines Systems lassen sich konvektive Impulsstromstärken auch als Kraftpfeile darstellen. Der Kraftpfeil zeigt beim Eintritt in Strömungsrichtung (I_m positiv) und beim Austritt gegen den Geschwindigkeitspfeil (I_m negativ).

Um den Impuls einfach zu bilanzieren, gehen wir ins mitbewegte System. Wir denken uns also einen Kasten, der die Schaufel dauernd umhüllt. Bezüglich dieses Kastens wird sowohl vom einströmenden als auch von den beiden weg strömenden Teilstrahlen Impuls zugeführt. Dieser Impuls wird unverzüglich leitungsartig über die Schaufel abgeleitet. Den leitungsartigen Impulsstrom nennt man Schaufelkraft F. Weil wir die Bilanz im mitbewegten System aufstellen, ist die Strömungsgeschwindigkeit um die Geschwindigkeit der Schaufel reduziert. Zudem muss die Summe über alle Impulsströme gleich Null sein, da sich der Impulsinhalt des Bilanzgebietes nicht ändert

[math]\varrho A(v-c)^2+2\cdot\varrho\frac A2(c-v)^2-F=0[/math]

Der erste Term beschreibt den Impulsstrom des auftreffenden, der zweite den der beiden zurückgeworfenen Wasserstrahlen. Die Schaufelkraft ist demnach gleich

[math]F=2\varrho A(v-c)^2[/math]

Ruhendes Bezugssystem

Zur Kontrolle stellen wir noch die Impulsbilanz bezüglich eines ruhenden Systems auf. Weil sich die Schaufel nun von der linken Bilanzfläche entfernt, nimmt die eingeschlossene Wassermenge zu. Damit ändert sich auch der Impulsinhalt des Bilanzgebietes. Die Änderungsrate des Impulsinhaltes lässt sich als Impulsdichte mal Änderungsrate des Volumens schreiben, wobei letztere wiederum durch das Produkt aus Strahlquerschnitt mal Schaufelgeschwindigkeit ersetzt werden kann

[math]\dot p=\varrho_p\dot V=\varrho v_{Wasser}Ac[/math]

Unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten im ein- und austretenden Strahl erhält man für die Impulsbilanz bezüglich eines ruhenden Kontrollvolumens den folgenden Ausdruck

[math]\varrho v^2A+\varrho (2c-v)^2A-F=\varrho vAc+\varrho (2c-v)Ac[/math]

Links stehen die Impulsströme bezüglich des Bilanzgebietes und rechts die zugehörigen Impulsänderungsraten. Der Impulsinhalt des Bilanzgebietes wird grösser, weil die von diesem Gebiet eingeschlossene, bewegte Wassermasse zunimmt. Man vergewissere sich, dass aus dieser Formel für die Schaufelkraft der gleiche Ausdruck folgt wie aus der weiter oben durchgeführten Herleitung bezüglich eines schaufelfesten Bezugssystems.

Energiebilanz

bezüglich einer Schaufel

Für die Leistung der Schaufelkraft gilt die bekannte Beziehung der Mechanik

[math]P(F)=Fc=2\varrho A(v-c)^2c[/math]

Die Leistung der Schaufelkraft ist quadratisch in v und kubisch in c. Durch Ableiten nach c und Null setzen findet man das Leistungsmaximum. Überrraschenderweise liegt die zugehörige Geschwindigkeit c_max nicht wie erwartet bei v/2 sondern bei v/3. Wie lässt sich dieser Widerspruch zur elementaren Betrachtung von weiter oben erklären?

Als erstes vergleichen wir die maximale Leistung der Schaufelkraft mit der Stromstärke der kinnetischen Energie bei der Düse. Für die Leistung der Schaufelkraft erhalten wir mit c_max = v/3

[math]P(F)=\frac{8}{27}\varrho Av^3[/math]

Für die kinetische Energie gilt wieder die allgemeine Formel für konvektive Transporte (Energiedichte mal Volumenstromstärke)

[math]I_{W,kin}=\varrho_{W,kin}I_V=\frac 12\varrho Av^3[/math]

Der Vergleich zeigt, dass die Schaufelleistung 59% der angelieferten Energiestromstärke nicht übersteigen kann. Weil aber das Wasser langsamer auf die Schaufel trifft, als es durch die Düse strömt, erhöht sich die Kontaktzeit. Berechnet man die nun noch Schaufelleistung bei der Geschwindigkeit v/2, erhält man genau die Hälfte der angelieferten Energiestromstärke. Da die Kontaktzeit für ein gegebenes Stück Wasserstrahl aber doppelt so gross ist wie die Austrittszeit aus der Düse, kann das Wasser dennoch seine ganze kinetische Energie an die Schaufel übertragen.

Zusammenfassen kann gesagt werden, dass die Peltonturbine die Energie des Wassers dann optimal ausnutzt, wenn sich ihre Schaufeln halb so schnell bewegen wie das Wasser ausströmt. Die Leistung der Schaufelkraft ist bei dieser Drehzahl aber nicht maximal. Weil infolge der gedehnten Kontaktzeit gleichzeitig mehr als eine Schaufel angetrieben wird, muss die Leistung der ganzen Turbine und nicht der einzelnen Schaufel optimiert werden.

bezüglich der Turbine

Interessiert man sich nur für die Leistung der Turbine, ist die Impulsbilanz mit Vorteil durch eine reine Energiebilanz bzw. Leistungsbilanz zu ersetzen. Das Bilanzgebiet umfasst die Turbine mit Zu- und Abfluss. Die Summer über alle Energieströme (konvektive Ströme und Leistungen von Drehmomenten und Kräften) muss gleich der Änderungsrate der Rotationsenergie sein

[math]\frac{v^2}{2}I_m-\frac{(v-c)^2}{2}I_m+P(M)=\dot W_{rot}[/math]

Im Stationärbetrieb ändert sich die Rotationsenergie nicht und die Leistung des über die Achse einwirkenden Drehmomentes M ist eine quadratische Funktion der Winkelgeschwindigkeit ω

[math]P(M)_{stationaer}=2(c^2-vc)I_m=2r^2I_m\omega^2-2\frac{rI_m^2}{\varrho A}\omega[/math]

Die Leistung P(M) ist negativ, da die Energie über die Achse weg transportiert wird.

Modell der Turbine

Aus der Energiebilanz, in der momentanen Form auch Leistungsbilanz genannt, lässt sich direkt das dynamische Verhalten der Turbine in einem vereinfachten Modell ableiten. Aus

[math]2(vc-c^2)I_m+P(M)=\dot W_{rot}[/math]

folgt mit [math]c=\omega r[/math], [math]I_m=\varrho A v[/math], [math]P(M)=\omega M[/math] und [math]\dot W_{rot}=J\omega\dot\omega [/math]

[math]\dot\omega=\frac MJ+2\frac{I_mr^2}{J}\omega^2+2\frac{I_m^2r}{J\varrho A}\omega[/math]

Wie eingangs gezeigt, kommt man schon mit einer elementaren Betrachtung zur Erkenntnis, dass sich die Schaufeln der Peltonturbine halb so schnell wie das Wasser bewegen müssen, damit die Energie voll ausgenutzt wird. Aus der Energiebilanz gewinnt man ein vereinfachtes dynamisches Modell für die Turbine. Doch erst die Impulsbilanz liefert eine präzise Darstellung der Turbinendynamik. Nehmen wir zum Vergleich der beiden Modelle an, dass sich die Turbinenschaufel mit c=v/3 dreht. Für diesen Betriebszustand berechnet man eine mittlere Turbinenleistung von 89% der maximal möglichen. Die Leistung einer Turbinenschaufel liegt - wie schon erwähnt - bei 59%. Weil sich die Schaufeln vom Strahl weg bewegen, werden während der halben Zeit von einem Strahl zwei Schaufeln gleichzeitig angetrieben. Damit erhöht sich die mittlere Leistung auf den vom vereinfachten Modell gelieferten Wert.