Fadenpendel

Ein Fadenpendel besteht aus einem kleinen Körper (Masse m), der an einer am oberen Ende befestigten Schnur (Länge l) hängt. Vernachlässigt man die Ausdehnung des am Faden hängenden Körpers und die Masse des Fadens sowie alle Reibungseffekte, erhält man das Modell des mathematischen Pendels. Das methematische Pendel kann als Spezialfall aus dem Modell des physischen Pendels abgeleitet werden.

Das mathematische Pendel ist an Schulen so beliebt, weil man dieses Objekt mit Hilfe der eindimensionalen Punktmechanik glaubt beschreiben zu können. Was dabei herauskommt, ist didaktisch höchst fragwürdig und fachlich meist völlig daneben.

Modell

Das physische Pendel ist ein Rotator, also ein um eine feste Achse drehbar gelagerter, starrer Körper. Die Mechanik des Rotators ist ein Hybrid aus Translations- und Rotationsmechanik. Dabei vernachlässigt man den leistungsfreien Impulsaustausch über die Achse, schreibt jeder Kraft ein Drehmoment bezüglich der Drehachse zu und fasst Eigen- und Bahndrehimpuls zu einer Einheit zusammen. Folglich wird die ganze Bewegungsenergie (kinetische und Rotationsenergie) als Rotationsenergie bezeichnet.

Im Sinne der Rotatormechanik lässt man nur das Drehmoment der Gewichtskraft als äussere Einwirkung zu. Die Drehimpulsbilanz lautet dann

[math]M_G = \dot L[/math]

Die Massenträgheitsmoment besteht aus zwei Termen, wobei der ein die Kapazität des Eigendrehimpulses und der andere die Kapazität des Bahndrehimpulses beschreibt

[math]J_A = J + m s^2[/math]

s steht für den Abstand des Massenmittelpunktes von der Drehachse. Setzt man auf der linken Seite der Drehimpulsbilanz das Drehmoment der Gewichtskraft

[math]M_G = -m g s \cdot\sin \varphi[/math]

und auf der rechten das Kapazitivgesetz für den Gedamtdrehimpuls ein,

[math]L = J_A \dot \varphi = (J + m s^2) \dot \varphi[/math]

erhält man eine Differentialgleichung für den Auslenkwinkel φ

[math]m g s \cdot\sin \varphi + J_A \ddot \varphi = 0[/math]

Als Näherung für kleine Winkel gilt dann die Gleichung des harmonischen Oszillators

[math]m g s \cdot\varphi + J_A \ddot \varphi = 0[/math]

Vernachlässigt man die Masse des Fadens und die Ausdehnung des Pendelkörpers, reduziert sich das Massenträgheitsmoment auf [math]J_A = m s^2[/math], womit sich die Gleichung noch einfacher schreiben lässt

[math]\frac {g}{s}\varphi + \ddot \varphi = 0[/math]

Die Lösung dieser Gleichung ist eine harmonische Schwingung mit der Schwingungsdauer

[math]T = 2 \pi \sqrt {\frac{s}{g}}[/math],

wobei der Abstand s gerade gleich der Pendellänge l ist.

Fehlkonzepte

"Herleitung" der Schwingungsdauer