Lösung zu Skilift

Vorbemerkung: Der hier behandelte Skilift beschreibt eine Maschine mit nur einem Freiheitsgrad. Solche Probleme löst man mit Vorteil über eine Energiebilanz zu einem bestimmten Zeitpunkt (auch Leistungsbilanz genannt). Obwohl in der Lösung nur noch Kräfte und Drehmomente vorkommen, unterscheidet sich dieser Lösungsweg grundlegend vom üblichen Lösungsverfahren über die Impulsbilanz und die Drehimpulsbilanz (auch Grundgesetze der Mechanik genannt).

Lösung: In der Leistungsbilanz sind die zufliessenden Energieströme (hier nur die Leistung des Antriebsmoments) gleich der Änderungsrate der gespeicherten Energie (kinetische Energie, Rotationsenergie und potentielle Energie) sowie der dissipierten Leistung

[math]P(M)=\dot W_{kin}+\dot W_{rot}+\dot W_{pot}+P_{diss}[/math]

oder mit den konkreten Grössen (n_M für die Anzahl Menschen und n_F für die Anzahl Führungsrollen)

[math]M\omega=(m_S+n_Mm_M)v\dot v+n_FJ_F\omega_F\dot\omega_F+2J\omega\dot\omega+n_Mm_Mg\dot h+n_FM_{RF}\omega_F+2M_R\omega+n_MF_Rv[/math]

Formt man diese Gleichung mit Hilfe der folgenden Beziehungen so um,

kinematische Verknüpfung: [math]v=\omega R=\omega_F r[/math]

Steiggeschwindigkeit (nw steht für Neigungswinkel): [math]\dot h=v\sin(nw)[/math]

Massenträgheitsmoment der Führungsrollen: [math]J_F=\frac{m_F}{2}r^2[/math]

dass in jedem Term einmal die Geschwindigkeit des Seils erscheint, kann diese weg gekürzt werden. Das gesuchte Drehmoment ist dann gleich

[math]M=R\left((m_S+n_Mm_M)\dot v+n_F\frac{J_F}{r^2}\dot v+2\frac {J}{R^2}\dot v+n_Mm_Mg\sin(nw)+n_F\frac{M_{RF}}{r}+2\frac{M_R}{R}+n_MF_R\right)[/math] = 15'914 Nm

Die ersten drei Terme auf der rechten Seite der Gleichung lassen sich zu einem einzigen Massenträgheitsmoment zusammen fassen. Dazu muss die Beschleunigung in die Winkelbeschleunigung der Antriebsscheibe umgerechnet werden. Lässt man die Reibung weg, erhält man eine Art Grundgesetz der Drehmechanik, wonach das einwirkende Drehmoment gleich dem Massenträgheitsmoment mal die Winkelbeschleunigung ist. Solche Verfahren sind im Mechanikunterricht weit verbreitet. Leider wird dabei meist nicht deklariert, dass diese Reduktion der Trägheit auf ein einziges Massenträgheitsmoment ein rein rechnerischer Trick ist, der nur auf der Basis der Energiebilanz funktioniert. Wer so verfährt, nimmt in Kauf, dass die Auszubildenden nachher nicht klar zwischen Impuls, Drehimpuls und Energie unterscheiden können.

Aufgabe