Dynamischer Auftrieb

Wieso ein Flugzeug fliegt

Ein fliegendes Objekt fällt nur dann nicht gegen die Erdoberfläche, wenn es den über das Gravitationsfeld zuströmenden z-Impuls (Richtung der z-Achse nach unten) vollständig an die umgebende Luft abführen kann. Nun kann ein Körper, der spezifisch schwerer ist als Luft, unter der alleinigen Wirkung des statischen Auftriebs nicht fliegen. Offenbar führt bewegte Luft mehr z-Impuls ab als ruhende, sonst gäbe es weder Flugzeug noch Vogel.

Luft kann Impuls leitungsartig oder konvektiv transportieren; im Festkörper strömt der Impuls dagegen nur leitungsartig. Folglich tauscht ein Flugzeug den Impuls leitungsartig mit der umgebenden Luft aus. Die zugehörige Impulsstromstärke bezüglich des Systems Flugzeug (Oberlächenkraft) kann man summarisch als Luftkraft bezeichnen. Üblicherweise zerlegt man die gesamte Kraft der Luft in einen statischen Auftrieb, einen dynamischen Auftrieb (normal zur Anströmung) und einen Luftwiderstand (parallel zur Anströmung).

Die Impulsstromstärke bezüglich einer Referenzfläche (Kraft auf die Oberfläche) berechnet sich aus der Impulsstromdichte durch Integration über die ganze Oberfläche. Da Gase nur bei grosser Scherbewegungen beachtliche Scherspannungen aufbauen können, ist die Impulsstromdichte an der Oberfläche eines Körpers in guter Näherung isotrop. Die Impulsstromdichte heisst dann Druck und hat in jede Richtung den gleichen Wert. Foglich ist die Kraft der Luft auf das Flugzeug gleich dem Flächenintegral über den Luftdruck

[math]\vec F_{Luft} = \int p \vec {dA}[/math]

Die Frage, wieso die Druckverteilung um das Flugzeug eine Kraft normal zur Anströmung (dynamischen Auftrieb) aufzubauen vermag, ist ein sehr komplexe Angelegenheit und lässt sich mit einem schnöden Hinweis auf den Satz von Bernoulli nicht beantworten.

Phänomenologische Betrachtung

Durch Messungen an verschieden geformten Flügeln kann man zeigen, dass die resultierende Kraft auf einen Flügel proportional zur Dichte der kinetischen Energie des anströmenden Mediums ist. Grösse und Richtung dieser Kraft hängen von der Form des Flügels und der Richtung der Anströmung ab. Wie zu erwarten, ist der Betrag dieser Kraft proportional zur Flügelfläche.

Man kann die resultierende Kraft der Luft (ohne statischen Auftrieb) in einen Anteil paralle zur Anströmung und in einen Anteil normal zur Anströmung zerlegen. Den parallelen nennt man Widerstand F_W, den normalen Auftrieb F_A. Die Parametrisierung erfolgt über zwei Kennzahlen, den Widerstandsbeiwert c_W und den Auftriebsbeiwert c_A

[math]\vec F_{Luft} = \begin{pmatrix}F_W \\ F_A \end{pmatrix} = \rho_W \begin{pmatrix}c_W A_W \\ c_A A_A \end{pmatrix} = \frac {\rho}{2} v^2 \begin{pmatrix}c_W A_W \\ c_A A_A \end{pmatrix}[/math]

A_A misst den Flügelquerschnitt parallel zur Anströmung (wirksame Aufttriebsfläche), A_W entspricht dem Querschnitt des ganzen Flugzeuges. Dynamischer Auftrieb und Widerstand hängen also nur vom zwei Einflussgrössen ab. Die eine Grösse beschreibt die Dichte der kinetischen Energie der Anströmung der Luft gegen das Flugzeug und lässt sich direkt mit dem Staurohr messen, der zweite Term ist gleich dem Produkt aus Bezugsfläche und Formfaktor. Die Formfaktoren (Widerstandsbeiwert c_W und Auftriebsbeiwert c_A) bilden die Flugeigenschaften des jeweiligen Flugzeuges ab. Man beachte, dass diese dimensionslosen Zahlen in erster Linie vom Winkel zwischen Flugzeugachse und Anströmung abhängen. Bezieht man beide Kraftkomponenten auf den gleichen Querschnitt lässt sich c_A zu c_W im Polardiagramm darstellen.

Die Leistung der Widerstandskraft ist gleich F_W^.v, die der dynamischen Auftriebskraft gleich Null. Die phänomenologische Formel für den Strömungswiderstand kann deshalb über eine Energiebetrachtung hergeleitet werden.

Strömungstheoretische Erklärung

Potenzialströmung

Umströmt ein ideales Fluid (inkompressibel, reibungsfrei) einen Körper, weist die Strömung an keiner Stelle eine Winkelgeschwindigkeit auf, d.h. der Körper ist von einer Potenzialströmung umgeben. Eine Potenzialströmung stellt sich so ein, dass jede Asymmetrie des umströmten Körpers ausgeglichen wird. So liegt bei einer Potenzialströmung um einen Flügel der hintere Staupunkt auf die Flügeloberseite. Folglich muss das Fluid die Hinterkante des Flügels von unten nach oben umfliessen.

Man kann zeigen, dass die sich Wirkung des Drucks bei einer Potenzialströmung bis auf den statischen Auftrieb weghebt. Die Symmetrie der Strömung sorgt für eine ausgeglichene Druckverteilung. Vereinfacht ausgedrückt hebt der Überdruck im Bereich des hinteren Staupunktes die Kraftwirkung des vorderen Staupunktes auf.

Gesetz von Bernoulli

Das Gesetz von Bernoulli (längs des Stromfadens einer reibungsfrei strömenden, inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Druck, Dichte der kinetischen Energie und Dichte der potenziellen Energie konstant) wird oft als Argument für das Zustandekommmen des dynamischen Auftriebes gebraucht. Nun kann man aber das Gesetz von Bernoulli nicht einfach auf einen Punkt über dem Flügel und einen Punkt unterhalb desselben anwenden. Auch wenn man die Strömung als reibungsfrei und die Luft als inkompressibel ansieht, gehören diese beiden Punkte nicht zum gleichen Stromfaden.

Das Gesetz von Bernoulli ist im ganzen Gebiet einer reibungsfreien strömenden, inkompressiblen Flüssigkeit anwendbar, falls die Strömung wirbelfrei ist, falls es sich um eine Potenzialströmung handelt. Wird aber ein Körper von einer Potenzialströmung umflossen, verschwindet - wie schon erwähnt - die gesamte Strömungskraft.

Satz von Kutta-Zhukovski

Macht man ein zweidimensionales Modell der Flügelströmung, ist das durchströmte Gebiet nicht mehr einfach zusammenhängend (der Flügelquerschnitt bildet ein Loch im Strömungsgebiet). Nun zerlegt man die Strömung um den Flügel in eine Potenzial- und eine Wirbelströmung. Weil in der Potenzialströmung das Gesetz von Bernoulli zwischen allen Punkten angewendet werden darf, gilt es auch in der überlagerten Strömung, solange die Bezugspunkte im gleichen Stromfaden der Wirbelströmung liegen.

Wendet man nun den Satz von Bernoulli auf alle Punkte längs eines Stromfadens um den Flügel an und integriert den Druck über den ganzen Umfang, erhält man eine Formel für die Kraft pro Profillänge (Einheit N/m). Diese Formel nennt man Satz von Kutta-Zhukovski (auch Satz von Kutta-Schukowski oder Kutta-Joukowski)

[math]f_A = v_\infty \rho \Gamma[/math]

v_oo ist die Anströmgeschwindigkeit, ρ die Dichte der Luft (druck- und temperaturabhängig) und Γ die Zirkulation. Die Zirkulation (Einheit m²/s) ist das Integral über die Tangentialkomponente der Strömungsgeschwindigkeit längs eines geschlossenen Weges

[math]\Gamma = \int \vec v \bullet d\vec s[/math]

induzierte Zirkulation

Im Gegensatz zu einem rotierenden Körper, der die umgebende Luftschicht mitschleppt und damit eine Zirkulationsströmung (Magnus-Effekt) erzeugt, stellt sich bei einem Flügel die Zirkulation erst ein, wenn eine turbulente Wirbelstrasse die Symmetrie der Umströmung bricht. Ein starrer Flügel erfährt also nur einen dynamischen Auftrieb, wenn er eine auf seiner ganzen Breite eine durchgehende Wirbelstrasse nachschleppt. Der dynamische Auftrieb ist folglich immer mit einem Strömungswiderstand verbunden.

unterkritische Strömung

Wird ein Flügel laminar umströmt, bildet sich nährungsweise eine Potenzialströmung aus. Die Kraft auf den Flügel ist klein (statischer Auftrieb und viskose Reibungskraft) und es wirkt kein dynamischer Auftrieb. Die Asymmetrie des Flügelprofils wird durch die Strömung kompensiert, indem der hintere Staupunkt (Gebiet mit verschwindend kleiner Strömung) auf der Oberseite des Flügelprofils zu liegen kommt.

überkritische Strömung

Wird die Anströmung stärker, bildet sich an der Hinterkante des Flügels eine turbulente Wirbelstrasse aus. Diese Wirbelstrasse trennt das obere und untere Strömungsgebiet. Weil die Hinterkante nun nicht mehr umströmt werden kann, ist der hintere Staupunkt auf der Flügeloberseite nach hinten gewandert und von der Wirbelstrasse quasi "verschluckt" worden. Ausserhalb der turbulenten Wirbelstrasse kann die nun asymmetrisch gewordene Umströmung näherungsweise in eine Potenzial- und eine (laminare) Wirbelströmung zerlegt werden. Folglich gilt der Satz von Kutta-Zhukovski. Die Wirbelströmung heisst induziert, weil sie durch die Schranken-Wirkung der turbulenten Wirbelstrasse an der Hinterkante erzwungen wird.

Folgerungen

Wirbelzopf aus Zirkulation, Wirbelschleppe und Anfahrwirbel

Das Strömungsmodell von Kutta-Zhakovski, so idealisert es auch sein mag (Annahme einer reibungsfreien Laminarströmung eines inkompressiblen Fluidums im ganzen Gebiet ausserhalb der Wirbelstrasse), erklärt einige Phänomene sehr gut

Beim Überschreiten der kritischen Strömung bildet sich infolge der Drehimpulserhaltung auf der Piste ein zur Zirkulation gegenläufiger Anfahrwirbel.
Die Zirkulation um die Flügel, die durch die Flügelspitzen erzeugten Wirbelschleppen und der Anfahrwirbel auf der Startpiste bilden gemäss des Helmholtzschen Wirbelsatzes einen geschlossenen Wirbelzopf.
Ein Strömungsabriss (englisch: stall) infolge Vergrösserung des Anstellwinkels oder sehr hohe Geschwindigkeit stoppt die Zirkulation und den damit verbundenen dynamischen Auftrieb.

Impulsbetrachtung

Ein Flugzeug fliegt, weil

an der Oberseite des Flugzeugflügels im Mittel ein geringerer Druck herrscht als auf der Unterseite (statische Erklärung mit Hilfe der Zirkulation und des Satzes von Bernoulli).
die anströmene Luft durch die Flügel nach unten abgelenkt wird und ein Teil des vom Luftstrom mitgeführten Impulses an den Flügel abgegeben wird (dynamische Erklärung mit Hilfe des Impulses).

Beide Argumente können mit Hilfe von Experimenten gestützt werden. Im Windkanal lässt sich der Druck an ausgewählten Punkten der Flügeloberfläche gut messen. Die Ablenkung der Luft kann ebenfalls im Windkanal mit Hilfe von eingesprühtem Rauch gezeigt werden. Wie kann man das gleiche Phänomen einmal mit der Energie (Bernoulli) und einmal mit dem Impuls erklären?

Die beiden Aussagen stehen nur scheinbar im Widerspruch zueinander. Erstens dient das Gesetz von Bernoulli nur dazu, eine Aussage zum Druck, also zur Impulsstromdichte, zu machen. Zweitens liegt die Systemgrenze einmal bei der Flügeloberfläche und einmal weiter aussen. Und die Systemgrenze entscheidet, welche konkrete Gestalt die Impulsbilanz annimmt.

Liegt die Systemgrenze ummittelbar über der Flügeloberfläche, kann das System nur leitungsartig Impuls mit der Luft austauschen. Setzt man die Systemgrenze weiter nach aussen, wird Impuls leitungsartig und konvektiv durch diese hindurch transportiert.

Ein vollständige Beschreibung des Impulstransportes umfasst den leitungsartigen und den konvektiven oder strömungsartigen Transport, sowie den quellenartigen Impulsaustausch mit dem Gravitationsfeld. Die Kontinuitätsgleichung für den Impuls setzt deshalb die Divergenz der leitungsartigen und der konvektiven Impulsstromdichte sowie die Quellendichte bezüglich des Gravitationsfeldes gleich der Änderungsrate der Impulsdichte. Nimmt man die Kontinuitätsgleichung für die Masse dazu und führt die leitungsartige Impulsstromdichte mit Hilfe des Newtonschen Reibungsgesetzes auf die Stömungsgeschwindigkeit zurück, erhält man die Navier-Stokes-Gleichung. Und diese Gleichung ist in den CFD-Programmen implementiert.

siehe auch