Zirkulation

Aus SystemPhysik
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Strömungslehre

Die Zirkulation (Formelzeichen [math]\Gamma[/math]) ist ein Mass für die Wirbelstärke in einer Strömung. Die Zirkulation wird in Quadratmeter pro Sekunde (m²/s) angegeben.

Die Zirkulation ist als Linienintegral in einem Geschwindigkeitsfeld längs einer beliebigen, geschlossenen Kurve definiert

[math]\Gamma = \oint_{C} \vec v \cdot d\vec s [/math]

Der Satz von Stokes verknüpft die Zirkulation mit der Wirbelstärke. In der Strömungslehre entspricht die Wirbelstärke der doppelten Winkelgeschwindigkeit [math]\vec\omega[/math]

[math]\Gamma=\int_{A}(\nabla \times \vec v)\cdot d\vec A=\int_{A}rot(\vec v)\cdot d\vec A=\int_{A}2\vec\omega\cdot d\vec A[/math].

Dabei ist [math]A[/math] die durch Kurve [math]C[/math] eingeschlossene Fläche.

Eine im ganzen Gebiet wirbelfreie Strömung heisst Potentialströmung. Der Potentialwirbel weist ausser im Zentrum (Singularität) nirgends eine Wirbelstärke auf.

Beispiele

rotierendes Gefäss

Lässt man ein mit Flüssigkeit gefülltes Gefäss mit konstanter Drehzahl rotieren, bewegt sich die Flüssigkeit nach einer gewissen Zeit infolge ihrer Zähigkeit mit. Die Flüssigkeit hat dann in ihrem ganzen Gebiet eine konstante Winkelgeschwindigkeit. Wählt man als Fläche in einer Ebene normal zur Drehachse, ist die Zirkulation gleich der eingeschlossenen Fläche mal die Winkelgeschwindigkeit. Daraus folgt, dass die Winkelgeschwindigkeit gleich der halben Wirbelstärke ist.

laminare Rohrströmung

Die laminare Strömung in einem Rohr mit Radius R weist eine parabelförmige Geschwindigkeitsverteilung auf

[math]v(r)=v_M\frac{R^2-r^2}{R^2}[/math]

Wendet man auf dieses Geschwindigkeitsfeld den Rotationsoperator (in Zylinderkoordinaten) an, folgt für die Wirbeldichte

[math]\vec \omega=v_M\frac{r}{R^2}\vec e_{\varphi}[/math]

In einem langen Rohr mit laminarer Strömung bilden die Wirbel umlaufende Wirbelzöpfe, deren Stärke linear mit dem Radius ansteigt. An der Grenze zwischen Flüssigkeit und Rohrwand ist die Geschwindigkeit gleich Null und die Winkelgeschwindigkeit maximal.