Lösung zu Aviatik 2008/4

Aus SystemPhysik

Aufgabe 1

Die Wärmepumpe muss die Entropie, die andauernd von aussen in die Truhe eindringt, weg pumpen. Beim Hineinfliessen vermehrt sich die Entropie und die Energie bleibt erhalten.

  1. Eines der grundlegendsten Gesetze der Systemphysik besagt, dass die aufzuwendende Energie gleich Menge mal Pumphöhe ist. Hier ist die Menge die Entropie und die Pumphöhe die Temperaturdifferenz. Demnach gilt [math]S_{gepumpt}=\frac{W}{\Delta T}=\frac{4.32 MJ}{70 K}[/math] = 61.7 kJ/K.
  2. Der durch die Wärmepumpe fliessende Entropiestrom hat die Stärke [math]I_S=\frac{P}{\Delta T}[/math] = 0.714 W/K. Folglich hat der in die Wärmepumpe hinein fliessende Entropiestrom eine Stärke von [math]I_W=T_{unten}I_S[/math] = 171 W. Damit sich in der Truhe nichts ändert, muss der in die Kühltruhe hinein fliessende Energiestrom auch gleich 171 W sein.
  3. Der thermische Leitwert ist gleich [math]G_W=\frac{I_W}{\Delta T_2}[/math] = 4.51 W/K
  4. Im System Kühltruhe ändert sich nichts. Folglich wird der Umgebung netto die vom elektrischen Strom frei gesetzte Energie in Form von Wärme zugeführt, d.h. die insgesamt produzierte Entropie trägt diese Energie nach aussen weg: [math]S_{erz}=\Delta S_{Umgebung}=\frac{\Delta W_{Umgebung}}{T_{Umgebung}}=\frac{W_{el}}{T_{Umgebung}}[/math] = 14.7 kJ/.

Aufgabe 2

Die vier Grundprozesse (isochor, isobar, isentrop und isotherm) verlaufen entweder im T-S- oder im p-V-Diagramm entlang von Koordinatenlinien. Elementare Kreisprozesse werden aus diesen vier Grundprozessen zusammen gesetzt.

  1. Für die Teilprozesse siehe ideales Gas.
  2. Nach den isochoren Heizen ist der Druck gleich [math]p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}[/math] = 30 bar. Nach der isentropen Expansion vergrössert sich das Volumen auf [math]V_3=V_2\left(\frac{p_2}{p_3}\right)^\frac{1}{\kappa}[/math] = 133.6 Liter
  3. Für die thermisch zugeführte Energie gilt [math]W_{therm}=\Delta W=n\hat c_V\Delta T=\frac 52\frac{p_1V_1}{T_1}\Delta T[/math] = 250 kJ. Die zugeführte Entropie entspricht der Zunahme im Gas: [math]S=n\hat c_V\ln\left(\frac{T_1}{T_2}\right)[/math] = 675.8 J/K.
  4. Nach dem ganzen Kreisprozess ist die mechanische abgeführte Energie gleich der thermisch zugeführten. Diese Energie ist in beiden Diagrammen als ausgeschnittene Fläche zu erkennen. Nun kann man den totalen Energieaustausch sowohl auf der thermischen als auch auf der mechanischen Seite rechnen. Nimmt man die thermische Seite, gilt [math]W_{Nutz}=W_{therm_1}+W_{therm_2}=n\left(\hat c_V\Delta T_{12}+\hat c_p\Delta T_{31}\right)[/math] = 14.8 kJ. Die Anfangstemperatur für den dritten Teilprozess beträgt [math]T_3=T_1\frac{V_3}{V_1}[/math] = 400.7 K.

Aufgabe 3

Eine Raumstation hat die Form von zwei Tori (Donuts), d.h. die Raumstation sieht aus wie ein kleines und ein grosses Rad, die um eine gemeinsame Achse drehen. Der grosse Torus hat einen Aussendurchmesser von 50 m. Um den Bewohnern ein Leben wie auf der Erdoberfläche zu ermöglichen, werden die beiden „Räder“ in gegenläufige Rotation versetzt. Nach einer zehnstündigen Beschleunigungsphase mit einem Drehimpulsstrom der Stärke 4.4 kNm dreht sich das grosse Rad alle zehn Sekunden und das kleine alle sechs Sekunden einmal um die eigene Achse.

  1. Wie gross sind die Massenträgheitsmomente der beiden Teile der Raumstation?
  2. Welche Leistung gibt das Antriebssystem nach der halben Beschleunigungsphase ab?
  3. Das Bremssystem muss die Drehzahl in 30 Minuten vom Normwert (Umlaufzeit 10 s bzw. 6 s) auf die Hälfte absenken können. Wie stark ist bei diesem Vorgang der mittlere Drehimpulsstrom? Wie viel Energie wird dabei vom Bremssystem umgesetzt?
  4. Wie stark ist das Zentrifugalfeld an der Peripherie (beim Aussenradius) des grossen Torus im Normalbetrieb? Welchen Durchmesser muss der kleine Torus aufweisen, damit die Feldstärke an dessen Peripherie den gleichen Wert aufweist?

Aufgabe 4

Ein landendes Flugzeug bewegt sich zu einem bestimmten Zeitpunkt mit einer Geschwindigkeit von 72 km/h über die Piste. Im gleichen Moment dreht sich das Bugrad (Durchmesser 0.8 m) mit 48 U/min und erfährt eine Winkelbeschleunigung von 5 s-2. Das Flugzeug und somit auch die Achse des Bugrades werden mit -2 m/s2 abgebremst.

  1. Welche Geschwindigkeit hat im fraglichen Moment der unterste Teil des Rades?
  2. Welche Beschleunigung erfährt dann dieser Teil des Rades?
  3. Wie gross ist dann Beschleunigung des vordersten Teiles des Rades?
  4. Wie schnell müsste sich das Bugrad drehen, damit es auf der Piste abrollt?

Aufgabe 5

Der Arbeitszyklus eines Benzinmotors kann durch die Abfolge von 4 Iso-Schritten idealisiert werden:

  1. isentrop: Verdichten
  2. isochor: Verbrennen
  3. isentrop: Expansion
  4. isochor: Ausstossen und neue Luft ansaugen

Modellieren Sie den 1. (Teilaufgabe 2) und den 2. Schritt (Teilaufgabe 3) mit Entropie-, Volumen- und Innere Energiebilanz in einem Zylinder des Motors. Beim Verdichten wird das Maximalvolumen von 0.5 Liter auf 10% komprimiert. Der 1. Schritt soll 10 ms, der 2. Schritt 2 ms dauern. Beim Verbrennungsschritt wird eine Energie von 400 J zugeführt.

  1. Zeichnen Sie zuerst ein qualitatives p-V- und T-S-Diagramm der ersten beiden Schritte.
  2. Skizzieren Sie das Systemdiagramm (flowchart) für den 1. Schritt des Benzinmotorzyklus. Schreiben Sie die zur Berechnung notwendigen Gleichungen nicht ins Systemdiagramm hinein, sondern auf einer separaten Liste daneben oder unterhalb.
  3. Skizzieren Sie das Systemdiagramm (flowchart) für den 2. Schritt zu diesem Modell (Entropie-, Volumen- und Innere Energiebilanz). Schreiben Sie die zur Berechnung notwendigen Gleichungen nicht ins Systemdiagramm hinein, sondern auf einer separaten Liste daneben oder unterhalb. Falls dieses Flowchart fast gleich aussieht wie das erste, können Sie die abweichenden Symbole und Pfeile auch mit einer anderen Farbe unter 2. eintragen.
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