Lösungen zu Aviatik 2007/2

1. Die erste Teilaufgabe haben Sie schon als Übungsaufgabe gelöst.
   1. Nach einer gewissen Zeit erreicht die Kugel unter der Wirkung der Luft einen Gleichgewichtszustand (F_G = F_W). Setzt man für die Gewichtskraft Masse mal Gravitationsfeldstärke und für den Luftwiderstand die entsprechende Beziehung ein, erhält man für die Endgeschwindigkeit [math]v=\sqrt{\frac{8mg}{\pi\varrho_L c_W d^2}}[/math] = 21.75 m/s.
   2. Ein ähnliches Modell finden Sie unter hüpfender Tennisball.
   3. Das Produkt aus Geschwindigkeit und Luftwiderstand ergibt die dissipierte Leistung. Eine Integration (Rohr-Topf-System) liefert die dissipierte Energie.
   4. Ein teileslastischer Stoss gegen den Boden ist beim hüpfenden Tennisball modelliert.
2. Die hydraulische Induktivität sorgt dafür, dass der Volumenstrom nicht plötzlich auf den Maximalwert von 0.00014 m³/s ansteigt.
   1. Im ersten Moment ist noch kein Strömungswiderstand vorhanden. Folglich wirkt die Pumpe voll auf die Induktivität. Die Änderungsrate des Volumenstroms entspricht der Steigung der Tangente, die zu Beginn mit 1.5 10^-4 m³/s² am grössten ist. Aus diesem Wert ergibt sich für die hydraulische Induktivität [math]L_V=\frac{\Delta p}{\dot I_V}[/math] = 6.9 10⁷ Pas²/ m³.
   2. Die Leistung ist gleich Druckdifferenz mal Volumenstromstärke: P = 10⁴ Pa 1.36 ^-4 m³/s = 1.36 W.
   3. Die Energie ist das Zeitintegral über die Leistung [math]W=\int P dt=\Delta p\int I_V dt=\Delta p V_{gefl}[/math] = 6.1 J. Die Druckdifferenz darf vor das Integral gezogen werden, weil sie konstant bleibt. Das geflossene Volumen entspricht der Fläche unter der Volumenstrom-Zeit-Kurve.
   4. Die dissipierte Energie ist gleich der von der Pumpe geförderten minus die in der Induktivität gespeicherten Energie (kinetische Energie) [math]W_{diss}=W-W_L=6.1 J-\frac{L_V}{2} I_V^2[/math] = 5.4 J.
3. Eine ähnliche Aufgabe haben Sie schon unter dem Namen Dreiecksignal gelöst.
   1. Die Energie des Kondensator ist maximal, falls die Ladung bzw. die Spannung maximal ist [math]W=\frac C2U^2[/math] = 0.5 mJ.
   2. Bei einem Kondensator ist die Stromstärke gleich Kapazität mal Änderungsrate der Spannung [math]I=C\dot U[/math] = 0.05 A. Die Änderungsrate der Spannung ist als Steigung dem Spannungs-Zeit-Diagramm zu entnehmen.
   3. Aus dem konstitutiven Gesetz für Induktivität folgt [math]\Delta I=\int \dot I dt=\frac{\int U dt}{L}[/math] = -0.03 A. Das Integral über die Spannung kann direkt der Graphik entnommen werden (Fläche eines kleinen Dreiecks minus Fläche des grossen Dreicks).
   4. Die Stromstärke wird zuerst negativ und ist bei 8 ms wieder gleich Null. Nach weiteren 2 ms erreicht die Stromstärke den Maximalwert von 0.02 A (Fläche des Dreiecks zwischen 8 ms und 10 ms durch die Induktivität).
4. Geschwindigkeit und Impulsstrom sind in der Mechanik so fundamental wie Spannung und Strom in der Elektrizitätslehre. Bei dieser Aufgabe drängt sich das Flüssigkeitsbild als Hilfe geradezu auf.
   1. Die Beschleunigung entspricht als Änderungsrate der Geschwindigkeit der Steigung im v-t-Diagramm. Mit Hilfe der Tangentenkonstruktion ermittelt man eine Beschleunigung von -8.8 m/s².
   2. Der vordere Wagen steht zum Zeitpunkt 0.1 Sekunden schon still. Folglich speichert der hintere Wagen den Impuls, der bis zum Zeitpunkt 0.182 s noch abfliesst. Aus der Fläche unter dem Impulsstrom-Zeit-Diagramm ergibt sich ein Impulsabfluss von 41.6 kNs.
   3. Die Masse des hinteren Wagens ist gleich Impuls dividiert durch die momentane Geschwindigkeit, also gleich 40 t. Die Fläche unter dem Impulsstrom-Zeit-Diagramm von 0 bis 0.182 s liefert den bis zum Stillstand aus beider Wagen total abgeflossene Impuls. Eine Division durch die Anfangsgeschwindigkeit von 1.4 s ergibt eine totale Masse von 70 t. Die Masse des vorderen Wagens beträgt folglich 30 t.
   4. Der zwischen den beiden Wagen fliessende Impulsstrom ist gleich dem durch den Prellbock strömenden minus den Betrag der Impulsänderungsrate des vorderen Wagens (zum Zeitpunkt 0.05 s geben noch beide Wagen Impuls an den Prellbock ab) [math]I_{p12}=I_{p1}+m_1 \dot v_1[/math] = 712 kN - 30 t 20.2 m/s² = 106 kN. Multipliziert man diesen Wert mit der zugehörigen Geschwindigkeitsdifferenz von 0.49 m/s, ergibt sich eine Leistung von 52 kW in den vier Puffern.
5. Der Astronaut bewegt sich auf einer Kreisbahn. Folglich zeigt seine Beschleunigung gegen die Achse der Zentrifuge.
   1. Die Beschleunigung ist gleich dem Quadrat der Geschwindigkeit dividiert durch den Radius [math]a_n=\frac{v^2}{r}=\frac{4\pi^2}{T^2}r[/math] = 44.4 m/s².
   2. Auf den Astronauten wirkt das Graviationsfeld mit der Gewichtskraft und der Stuhl mit der Stuhlkraft. Die Stuhlkraft kann in eine vertikale und eine horizontale Komponente zerlegt werden. Die Vertikalkomponente kompensiert die Gewichtskraft und die horizontale Komponente entspricht der resultierenden Kraft: [math]F_G=mg[/math] = 736 N; [math]F_{Stuhl}=m\sqrt{g^2+a_n^2}[/math] = 3411 N.
   3. Die in der Kabine nachweisbare Gravitationsfeldstärke setzt sich aus den Stärken des Erdfeldes und des Trägheitsfeldes (hier Zentrifugalfeldes) zusammen [math]g'=\sqrt{g^2+g_t^2}[/math] = 45.5 N/kg = 4.6 g. Die Stärke des Trägheitsfeld (im mit bewegten System) ist entgegen gesetzt gleich der Beschleunigung dieses Teils des bewegten Systems vom Laborsystem aus betrachtet.
   4. Die Schnur des mit Helium gefüllten Ballons zeigt entgegen dem lokal nachweisbaren Gravitationsfeld [math]\alpha=\arctan\frac{g_t}{g}[/math] = 77.6°
6. Die Achterbahn (Launched Coaster) Kingda Ka steht im Freizeitpark Six Flags Great Adventure im Bundesstaat New Jersey. Die insgesamt 48 hydraulischen Motoren erreichen eine Spitzenleistung von 21'080 PS.
   1. Die Beschleunigung des Zuges ist gleich der Endgeschwindigkeit dividiert durch die benötigte Zeit, also gleich 16.4 m/s². Die zurückgelegte Strecke ist gleich mittlere Geschwindigkeit mal benötigte Zeit, also gleich 100 m.
   2. Im aufsteigenden Ast der Bahn (C) geht die die kinetische Energie in Gravitationsenergie über. Somit ist [math]h=\frac{v^2}{2g}[/math] = 167 m.
   3. Der Anteil der dissipierten Energie ist gleich [math]\epsilon=\frac{W_{diss}}{W_{kin}}=\frac{W_{kin}-W_G}{W_{kin}}=\frac{v^2-2gh}{v^2}[/math] = 0.173 = 17.3%.
   4. Im mit beschleunigten System betragen die Feldstärken 4.5 g und 0 g. Folglich ist im Punkt F die Beschleunigung der Wagen 3.5 g oder 34.4 m/s² nach oben und im Punkt G 9.81 m/s² nach unten.

Aufgabe