Stausee-Analogie

Die Wasserfall-Analogie bildet ein zentrales Element in der Physik der dynamischen Systeme. Hydraulische, elektrische, mechanische (Translation und Rotation), thermische und chemische Prozesse lassen sich mit dem Bild des fallenden Wassers erklären. Anhand dieses Bildes sollte jeder verstehen, was ein zugeordneter Energiestrom und was eine Prozessleistung ist. Die Stausee-Analogie ist dagegen nur in einem Teilbereich der Thermodynamik von Nutzen. Falls man einen Stoff bei konstantem Druck oder konstantem Volumen aufheizt, kann anhand dieser Analogie der Zusammenhang zwischen Temperatur, Entropie, Enthalpie (konstanter Druck) bzw. innerer Energie (konstantem Volumen) aufzeigen.

Wasserfall

Der Wasserfall kann als Urbild für alle physikalischen Prozesse angesehen werden. Fliesst eine Primärgrösse (Masse, Volumen, elektrische Ladung, Impuls, Drehimpuls, Entropie oder Stoffmenge) über das zugehörige Potenzial (Gravitationspotenzial, Druck, elektrisches Potenzial, Geschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit, absolute Temperatur oder chemisches Potenzial), setzt der Strom eine Prozessleistung frei (zweites Potenzial liegt tiefer) oder nimmt welche auf (zweites Potenzial liegt höher)

[math]P=\Delta\varphi_{Menge} I_{Menge}[/math]

Diese Formel folgt aus dem Umstand, dass jedem Strom einer Primärgrösse an einer bestimmten Stelle ein Energiestrom zugeordnet werden darf

[math]I_W=\varphi_{Menge} I_{Menge}[/math]

Stausee

Das Wasser eines Stausees speichert eine gewisse Menge an potentieller Energie (Graviationsenergie). Diese Energie hängt davon ab, wo man den Nullpunkt wählt, d.h. auf welche Basishöhe man das Gravitationspotenzial bezieht. Weil sich das meiste Wasser, das nicht verdunstet, in die Weltmeere ergiesst, nimmt man oft als Bezugsort einen Punkt auf der Wasseroberfläche der Meere. Mit dieser Wahl des Potenzialnullpunktes darf jedem Fluss oder Bach ein Strom an potentieller Energie zugeordnet werden

[math]I_W=\varphi_G I_m= ghI_m[/math]

Die Prozessleistung bei einem Gefälle ist dann gleich

[math]P=\Delta\varphi_G I_m= g\Delta hI_m[/math]

Multipliziert man die erste Gleichung mit dem Zeitschritt dt, erhält man eine quasistatische Formulierung, die sich zur Beschreibung eines Speichers besser eignet als die dynamische

[math]dW=\varphi_G dm=ghdm[/math]

Die in einem Stausee gespeichert Energie ist dann gleich

[math]W=\int \varphi_G(m) dm=g\int h(m) dm[/math]

Skizziert man nun für einen Stausee das Gravitationspotenzial in Funktion der Masse, entspricht die Fläche unter der Kurve der gespeicherten Energie.

Wärme

In der Thermodynamik ist die Masse durch die Entropie und das Gravitationspotential durch die absolute Temperatur zu ersetzen. Die im Stausee gespeicherte Energie entspricht dann der Enthalpie (falls die Kühl- und Heizprozesse bei konstantem Druck verlaufen). Die Stausee-Analogie funktioniert nur bei reversiblen Prozessen. Weil bei irreversiblen Vorgängen sowohl beim Stausee als auch beim zu beheizenden Stoff Entropie erzeugt wird, darf die Analogie nicht auf solche Prozesse ausgedehnt werden.

Sind von einem Stoff, der seinen Aggregatszustand nicht ändert, die Enthalpie und die Entropie in Funktion der Zeit gegeben, kann mit Hilfe der Stausee-Analogie berechnet werden, wie viel Energie man zuführen muss oder gewinnen kann, wenn man den Stoff mit Hilfe einer absolut reversiblen Maschine (Wärmekraftmaschine oder Wärmepumpe) kühlt oder heizt. Zuerst ermittelt man die Enthalpie- und die Entropieänderung. Diese sind für einfache Stoffe und Umgebungstemperatur gleich

[math]\Delta H=mc\Delta T[/math] und [math]\Delta S=mc\ln\frac{T_2}{T_1}[/math]

Wird nun die so ermittelte Entropie von der Umgebung zu- oder abgeführt, führt sie eine thermische Energie (Wärme) mit

[math]W_{th}=ST_{Umgebung}=\Delta ST_{Umgebung}[/math]

Die von der idealen Maschine umgesetzte Energie ist dann gleich der Differenz zwischen der Enthalpieänderung des Stoffs und dem Energieaustausch mit der Umgebung

[math]W=\Delta ST_{Umgebung}-\Delta H[/math]

Die Vorzeichen sind so gewählt, dass die Energie positiv ist, wenn die Maschine als Wärmekraftmaschine arbeitet. Es sind nun vier Prozesse denkbar. In zwei Fällen wird geheizt und in zwei gekühlt. Zudem kann die Temperatur des Stoffs je einmal über oder unter der der Umgebung liegen. Man überlege sich, wann die Maschine als Wärmepumpe und wann als Wärmekraftmaschine arbeitet.