Ausfluss aus Gefäss

Aus SystemPhysik
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System

Gefäss mit Ausfluss und Steigröhrchen

Aus einem zylinderförmigen Gefäss fliesst Wasser durch ein horizontales Glasrohr weg. Der Wasserstand in den vertikalen Steigröhrchen zeigt den Druck im Glasrohr an. Während des ganzen Entleervorganges liegen die Wasseroberflächen in den Steigröhrchen auf einer Geraden. Diese Gerade steigt von der Mündung des Glasrohres in Richtung des Zylinders an. Der Durchstosspunkt dieser Geraden mit der Zylinderwand teilt die Füllhöhe im Verhältnis 5:2.

Theorie

Energiebilanz: die im Gravitationsprozess freigesetzte Energie ist gleich der Summe aus hydraulischer Prozessleistung (Dissipation im Rohr) und vom Wasser abgeführtem Energiestrom (kinetische Energie des Wassers):

[math]P_G = P_H + I_{W_{kin}}[/math]

  • Gravitationleistung: [math]P_G = \Delta \varphi I_m = g \Delta h \rho I_V[/math]
  • hydraulische Leistung: [math]P_H = \Delta p I_V[/math]
  • Energiestromstärke: [math]I_{W_{kin}} = \rho_{W_{kin}}I_V = \frac{\rho}{2}v^2 I_V[/math]

Setzt man diese drei Beziehungen in die Leistungsbilanz ein, erhält man

[math]\rho g \Delta h I_V = \Delta p I_V + \frac{\rho}{2}v^2 I_V[/math]

Da die Strömung bis kurz vor Ende des Entleervorganges turbulent ist, kann für die Druckdifferenz über dem Rohr der folgende Ansatz gewählt werden

[math]\Delta p = k I_V^2 = \frac{\zeta \rho}{2 A^2}I_V^2 = \frac{\zeta \rho}{2}v^2[/math]

Fügt man dieses Widerstandsgesetz in die Leistungsbilanz ein, können zwei Terme zusammengefasst werden

[math]\rho g h I_V = \frac{\zeta \rho}{2}v^2 I_V + \frac{\rho}{2}v^2 I_V = \frac{(\zeta + 1) \rho}{2}v^2 I_V = \frac{(\zeta+1) \rho}{2 A^2}I_V^3[/math]

Bei turbulenter Strömung wird die vom bewegten Wasser weggeführte kinetische Energie zum Widerstand addiert, indem man den Strömungsbeiwert ζ um eins erhöht. Der Strömungsbeiwert sagt demnach, wie oft die kinetische Energie in diesem System dissipiert wird.

Die kinetische Energie des Wasserstromes wird im Einlassbereich des Entleerröhrchens aufgebaut. Deshalb fällt der Druck zwischen Gefäss und Röhrchenanfang um 2/7 ab. Im Röhrchen selber geht der Druck um die restlichen 5/7 zurück. Aus dem Höhenverhältnis (2:5) kann folglich geschlossen werden, dass 2/7 der freigesetzten Energie zum Aufbau der Bewegung und 5/7 zur Überwindung des Strömungswiderstandes benötigt werden. Der Verlustziffer (ζ) kann somit der Wert 2.5 zugeschrieben werden.

Simulationsmodell

Systemdiagramm des Ausflusses

Die Volumenbilanz bildet den Kern des systemdynamischen Modells. Das im gefäss gespeicherte Volumen liefert über das hydrostatische Druckgesetz den Überdruck beim Gefässboden:

[math]p = \rho g h = \rho g \frac {V}{A}[/math]

Die Druckdifferenz zwischen dem Gefässboden und der Umgebung treibt das Wasser durch das Röhrchen, wobei die Druckdifferenz über dem Röhrchen gleich dem Überdruck beim Gefässboden ist

[math]p = \Delta p = \frac {\zeta +1}{2} \rho \frac {I_V^2}{A_{Roehrchen}^2}[/math]

Im nebenstehend skizzierten Simulationsmodell wird zuerst die Höhe und dann der Druck gerechnet. Eine Energieebene, in welcher die dissipierte Leistung zur dissipierten Energie und der weggeführte Strom der kinetischen Energie zur total weggeführten kinetischen Energie aufsummiert wird, könnte noch zusätzlich modelliert werden.

Simulationsergebnisse

Höhe und Volumenstromstärke

Die Stärke des Volumenstromes nimmt linear mit der Zeit ab. Folglich geht die Füllhöhe quadratisch mit der Zeit zurück.