Rotator

Der Rotator ist ein starrer Körper, der um eine festen Achse drehbar gelagert ist. Der Rotator kann nur eine Komponente des Drehimpulses frei austauschen; er besitzt nur einen Freiheitsgrad der Bewegung. Die andern beiden Komponenten des Drehimpulses, sowie die in Richtung der Achse weisende Komponente des Impulses sind zu jedem Zeitpunkt gleich Null. Die zwei restlichen Komponenten des Impulses sind durch die Winkelgeschwindigkeit und die Lage des Massenmittelpunktes festgelegt.

Die Mechanik des Rotators kann mit Hilfe der Drehimpulsbilanz bezüglich der festen Achse und dem zugehörigen Kapazitivgesetz beschrieben werden. Im Physikunterricht werden am Beispiel des Rotators Begriffe wie Drehmoment, Massenträgheitsmoment oder Rotationsenergie eingeführt. Weil die Mechanik des Rotators aus einem Mix aus Translationsmechanik und Rotationsmechanik besteht und diese hybride Struktur nicht offen gelegt wird, entwickeln die Studierenden leider oft viele Fehlvorstellungen, die später nur noch schwer zu beheben sind.

Bilanzgesetze

Teilt man die Impulsstromstärken bezüglich des Rotators, die Kräfte, in die Lagerkraft F_L und in die äusseren Kräfte ein, lauten die Bilanzgleichungen wie folgt

Impulsbilanz: [math]\sum_i\vec F_i+\vec F_L+m\vec g=\dot{\vec p}[/math]

Drehimpulsbilanz: [math]\sum_i\vec M_i+\sum_i\left(\vec r_i\times\vec F_i\right)+\left(\vec r_L\times\vec F_L\right)=\dot{\vec L}[/math]

Die Distanzvektoren r_i zeigen vom Massenmittelpunkt des Rotators zum Angriffszentrum der jeweiligen Kraft.

Die Achse verhindert nun, dass drei von den sechs skalaren Mengen (eine Komponente des Impulses und zwei Komponenten des Drehimpulses) gespeichert werden können. Legt man die z-Achse des globalen Koordinatensystems parallel zur Rotatorachse, lauten die nicht trivialen Bilanzgleichungen

Impuls: [math]\sum_i\vec F_{ni}+\vec F_{nL}+m\vec g_n=\dot{\vec p}_n[/math]

Drehimpulsbilanz: [math]\sum_i M_{zi}+\sum_i\left(\vec r_i\times\vec F_i\right)_z+\left(\vec r_L\times\vec F_L\right)_z=\dot L_z[/math]

Der Index n steht für normal und weist darauf hin, dass nur die normal zur Achse gerichtete Komponente, die in der x-y-Ebene liegt, gemeint ist.

Hybridisierung

Die Impulsbilanz und Drehimpulsbilanz lassen sich zu einer einzigen Gleichung zusammenfassen, indem man die Impulsbilanz mit einem Ortsvektor, der von einem beliebigen Punkt auf der Achse zum Massenmittelpunkt zeigt, von links vektoriell multipliziert

[math]\vec s_{MMP}\times\sum_i\vec F_i+\vec s_{MMP}\times\vec F_L+\vec s_{MMP}\times m\vec g=\vec s_{MMP}\times\dot{\vec p}[/math]

und zur Drehimpulsbilanz addiert wird

[math]\sum_i\vec M_i+\sum_i\left(\vec s_i\times\vec F_i\right)+\left(\vec s_L\times\vec F_L\right)+\vec s_{MMP}\times\vec F_G=\dot{\vec L}+\vec s_{MMP}\times\dot{\vec p}[/math]

Die Ortsvektoren [math]\vec s_i=\vec s_{MMP}+\vec r_i[/math] zeigen vom Bezugspunkt auf der Achse zum Mittelpunkt der Kraftangriffsfläche.

Die Achse, die bewirkt, dass nur die z-Komponente des Drehimpulses und x- und die y-Komponente des Impulses ungleich Null sein können, bestimmt nun auch die Form der hybridisierten Bilanzgleichung

[math]\sum_i M_{zi}+\sum_j\left(\vec s_j\times\vec F_j\right)_z=\dot{L}_z+\left(\vec s_{MMP}\times\dot{\vec p}\right)_z[/math]

Die Wirkung der Lagerkraft ist verschwunden, weil s_L in z-Richtung zeigt. Das Drehmoment der Gewichtskraft bezüglich der Achse ist zu den Drehmomenten der andern Kräfte dazu addiert worden. Die Drehimpulsbilanz besagt nun, dass die Summe über alle reinen Drehmomente und die Summe über alle Drehmomente der Kräfte (inkl. Gravitationskraft) bezüglich der festen Achse gleich der Änderungsrate des Drehimpulses ist. Dieser Drehimpuls setzt sich aus Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls zusammen.

Kapazitivgesetz

Das Kapazitivgesetz der Drehmechanik beschreibt beim Rotator den Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls in z-Richtung (Menge) und der zugehörigen Winkelgeschwindigkeit (Potenzial). Der Eigendrehimpuls L_E darf als Massenträgheitsmoment mal Winkelgeschwindigkeit geschrieben werden, wobei das Massenträgheitsmoment auf die gegebene Achse zu beziehen ist

[math]L_E=J_z\omega[/math]

Der Impuls darf gemäss dem kapazitiven Gesetz der Translationsmechanik als Masse mal Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes geschrieben werden. Diese Geschwindigkeit steht normal zur Achse und normal zum Radiusvektor R_MMP (Normalkomponente von s_MMP). Damit vereinfacht sich der Bahndrehimpuls auf

[math]L_B=m R_{MMP}^2\omega[/math]

Eigendrehimpuls und Bahndrehimpuls des Rotators können nun zu einer gemeinsamen Kapazität für die Grösse Drehimpuls zusammengefasst werden

[math]L=L_E+L_B=(J_z+m R_{MMP}^2)\omega=J_A\omega[/math]

Das Massenträgheitsmoment des Rotators (Drehimpulskapazität) besteht aus dem Massenträgheitsmoment des starren Körpers bezogen auf die feste Achse plus einem Anteil, der quadratisch mit dem Abstand des Massenmittelpunktes von der Drehachse zunimmt. Der erste Term beschreibt das eigentliche Fassungsvermögen an z-Drehimpuls, der zweite das Fassungsvermögen an Bahndrehimpuls.

ebene Betrachtungsweise

Der Rotator kann nur die z-Komponente des Drehimpulses speichern. Diesen Drehimpuls tauscht der Rotator entweder über die Achse (M) oder quellenartig mit der Umgebung (als Folge von querfliessendem Impuls) aus. Die Quellenstärke bezüglich des z-Drehimpulses darf den einzelnen Kräften zugeschrieben werden (Drehmoment einer Kraft). Dazu bildet man das Produkt aus dem Betrag der Kraftkomponente, die normal zur Achse sowie normal zum Abstandsvektor s_j steht, und dem Abstand R des "Kraftangriffspunktes" von der Achse. Nach diesen Vereinfachungen darf bei der Formulierung der z-Drehimpulsbilanz auf die Vektorschreibweise verzichtet werden

[math]M+\sum_j R_j F_{tj}=(J+ m R_{MMP}^2)\dot\omega=J_A\dot\omega[/math]

Nach all diesen Umformungen und Vereinfachungen nimmt die Drehimpulsbilanz eine zur eindimensionalen Impulsbilanz des Massenpunktes analoge Form an (die Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung). Nur sollte man nicht vergessen, dass der Rotator über die Achse zwangsweise Impuls (statische Unwucht und achsial wirkende Zwangskräfte) sowie Drehimpuls (dynamische Unwucht) mit der Umgebung austauschen kann.

Energie

Impuls und Drehimpuls sind Energieträger. Die von den zugehörigen Strömen transportiere Energie, den zugeordneten Energiestrom berechnet sich aus Stromstärke mal Potenzial

[math]I_W=I_{px}v_x+I_{py}v_y+I_{pz}v_z=F_x\omega_x+F_y\omega_y+F_z\omega_z=P(\vec F)[/math]

[math]I_W=I_{Lx}\omega_x+I_{Ly}\omega_y+I_{Lz}\omega_z=M_x\omega_x+M_y\omega_y+M_z\omega_z=P(\vec M)[/math]

Bezieht man die Impuls- und die Drehimpulsstromstärke auf einen Körper, heissen die zugeordneten Energieströme Leistung einer Kraft bzw. Leistung eins Drehmomentes.

Die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie heisst kinetische, die gemeinsam mit dem Drehimpuls aufgenommene oder abgegebene Energie nennt man Rotationsenergie. Damit die Aussage der Energiebilanz, wonach die Summe über alle Energieströme gleich der Änderungsrate des Energieinhaltes ist, zutrifft, darf dem einem Impulsstrom zugeordneten Drehimpulsstrom, dem Drehmoment einer Kraft, nicht auch noch ein Energiestrom zugewiesen werden.

Um die Energiebilanz eines Rotators zu formulieren, multipliziert man die aus der Impuls- und Drehimpulsbilanz gewonnene Gleichung mit der momentanen Winkelgeschwindigkeit

[math]M\omega+\sum_j R_j F_{tj}\omega=P(M)+\sum_j P(F_j)=J_A\dot\omega\omega=\frac{J_A}{2}\dot{\omega^2}=\dot W_{Bew}[/math]

Üblicherweise schreibt man der Gewichtskraft keine Leistung zu (ordnet man dem graviativ zugeführten Impuls keine Energie zu) und führt eine Gravitations- oder potenzielle Energie ein. Damit erhält man die üblicherweise formulierte Energiebilanz

[math]P(M)+\sum_i P(F_i)=\dot W_G+\dot W_{Bew}[/math]

Die Bewegungsenergie, die wie die Rotationsenergie bezüglich eines um m r² korrigierten Massenträgheitsmoments formuliert ist, nennt man oft auch nur Rotationsenergie.