Vektor: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 28. Juli 2007, 09:37 Uhr

Ein Vektors ist ein Element eines Vektorraums, d. h. ein Objekt, das mit seinesgleichen addiert und mit einem Skalar multipliziert werden kann. Eine Multiplikation von Vektoren ist im Allgemeinen nicht definiert.

In der Physik versteht man unter einem Vektor eine Grösse, die sich bei räumlicher Drehung wie eine Strecke transformiert. Dehnt man den Begriff auf die raum-zeitliche "Drehung" (Lorentz-Transformation) aus, nennt man die Grösse auch Lorentz-Vektor oder Vierervektor.

Ein Vektor lässt sich bezüglich einer Basis durch drei Zahlen (reell oder kompolex) darstellen, die man als Zeile (Zeilenvektor) oder als Spalte (Spaltenvektor) schreibt. Die Stromdichte einer skalaren Menge oder die Stromstärke einer vektorwertigen Menge sowie der Gradient eines skalaren Feldes transformieren sich wie ein Vektor. Mit dem Vektorprodukt wird aus zwei Vektoren ein weiterer Vektor gebildet.

In der Physik unterscheidet man oft zwischen polaren und achsialen Vektoren: die polaren Vektoren verhalten sich bei einer Spiegelung wie eine Strecke, die achsialen Vektoren zeigen im Spiegel in die entgegen gesetzte Richtung wie die gespiegelte Strecke. Fliegt zum Beispiel ein einmotoriges Flugzeug schief auf eine spiegelnde Glasfront zu und sind seine Geschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit des Propellers gleich gerichtet, zeigt im Spiegel die Winkelgeschwindigkeit des Propellers entgegen der Geschwindigkeit des Flugzeuges. Achsiale Vektoren bildet man aus den drei unterschiedlichen Komponenten eines schiefsymmetrischen Tensors; achsiale Vektoren sind eigentlich (spezielle) Tensoren. Das Vektorprodukt aus zwei gleichartigen Vektoren (achsiale oder polare) liefert einen achsialen Vektor, das Vektorprodukt aus zwei unterschiedlichen Vektoren ergibt einen polaren Vektor.

Beispiele

polare Vektoren
- Impuls
- Geschwindigkeit
- Impulsstromstärke (Kraft)
- Gravitationsfeldstärke
- elektrische Feldstärke
achsiale Vektoren
- Drehimpuls
- Winkelgeschwindigkeit
- Drehimpulsstromstärke (Drehmoment)
- magnetische Feldstärke

In der Raumzeit bildet die Masse oder Energie die zeitliche und der Impuls die räumliche Komponente des Energie-Impuls-Inhalts eines Objekts (Vierervektor). Zudem muss der Drehimpuls um drei Komponenten zu einem vierdimensionalen, schiefsymmetrischen Tensor erweitert werden. Die elektrische und die magnetische Feldstärke werden zum vierdimensionalen, schiefsymmetrischen Tensor des elektromagnetischen Feldes zusammengefasst.

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-In allgemeinster Form ist ein '''Vektor''' ein Element eines [[Vektorraum]]s, d. h. ein Objekt, das mit seinesgleichen addiert und mit einem [[Skalar]] multipliziert werden kann. Eine Multiplikation von Vektoren ist im Allgemeinen nicht definiert.
+Ein '''Vektors''' ist ein Element eines [[Vektorraum]]s, d. h. ein Objekt, das mit seinesgleichen addiert und mit einem [[Skalar]] multipliziert werden kann. Eine Multiplikation von Vektoren ist im Allgemeinen nicht definiert.
 In der Physik versteht man unter einem Vektor eine Grösse, die sich bei räumlicher Drehung wie eine Strecke transformiert. Dehnt man den Begriff auf die raum-zeitliche "Drehung" ([[Lorentz-Transformation]]) aus, nennt man die Grösse auch Lorentz-Vektor oder Vierervektor.
-Ein Vektor lässt sich immer durch drei Zahl (reell oder kompolex) darstellen, die man als Zeile (Zeilenvektor) oder als Spalte (Spaltenvektor) schreibt. Die Stromdichte einer skalaren, die Stromstärke einer vektorwertigen [[Menge]] sowie der Gradient eines skalaren Feldes transformieren sich wie ein Vektor. Mit dem  [[Vektorprodukt]] wird aus zwei [[Vektor]]en ein weiterer Vektor gebildet.
+Ein Vektor lässt sich bezüglich einer Basis durch drei Zahlen (reell oder kompolex) darstellen, die man als Zeile (Zeilenvektor) oder als Spalte (Spaltenvektor) schreibt. Die Stromdichte einer skalaren [[Menge]] oder die Stromstärke einer vektorwertigen [[Menge]] sowie der Gradient eines skalaren Feldes transformieren sich wie ein Vektor. Mit dem  [[Vektorprodukt]] wird aus zwei [[Vektor]]en ein weiterer Vektor gebildet.
-Oft unterscheidet man noch zwischen '''polaren''' und '''achsialen''' Vektoren: die polaren Vektoren verhalten sich bei einer Spiegelung wie eine Strecke, die achsialen Vektoren zeigen im Spiegel in die entgegen gesetzte Richtung. Fliegt zum Beispiel ein einmotoriges Flugzeug schief auf eine spiegelnde Glasfront zu und sind seine [[Geschwindigkeit]] und die [[Winkelgeschwindigkeit]] des Propellers gleich gerichtet, ist beim gespiegelten Flugzeug die Winkelgeschwindigkeit des Propellers entgegen gesetzt zu dessen Geschwindigkeit gerichtet. Achsial Vektoren werden aus den drei unterschiedlichen Komponenten eines schiefsymmetrischen Tensors gebildet.
+In der Physik unterscheidet man oft zwischen '''polaren''' und '''achsialen''' Vektoren: die polaren Vektoren verhalten sich bei einer Spiegelung wie eine Strecke, die achsialen Vektoren zeigen im Spiegel in die entgegen gesetzte Richtung wie die gespiegelte Strecke. Fliegt zum Beispiel ein einmotoriges Flugzeug schief auf eine spiegelnde Glasfront zu und sind seine [[Geschwindigkeit]] und die [[Winkelgeschwindigkeit]] des Propellers gleich gerichtet, zeigt im Spiegel die Winkelgeschwindigkeit des Propellers entgegen der Geschwindigkeit des Flugzeuges. Achsiale Vektoren bildet man aus den drei unterschiedlichen Komponenten eines schiefsymmetrischen [[Tensor]]s; achsiale Vektoren sind eigentlich (spezielle) Tensoren. Das [[Vektorprodukt]] aus zwei gleichartigen Vektoren (achsiale oder polare) liefert einen achsialen Vektor, das Vektorprodukt aus zwei unterschiedlichen Vektoren ergibt einen polaren Vektor.
 '''Beispiele'''
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 **magnetische Feldstärke
-In der [[Raumzeit]] bildet die [[Masse]] oder [[Energie]] die zeitliche und der Impuls die räumliche Komponente des Energie-Impuls-Inhalts (Vierervektor) eines Objekts, der Drehimpuls muss um drei Komponenten zu einem vierdimensionalen, schiefsymmetrischen [[Tensor]] erweitert werden, die elektrische und die magnetische Feldstärke bilden gemeinsam den vierdimensionalen, schiefsymmetrischen [[Tensor]] des [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetischen Feldes]].
+In der [[Raumzeit]] bildet die [[Masse]] oder [[Energie]] die zeitliche und der Impuls die räumliche Komponente des Energie-Impuls-Inhalts eines Objekts (Vierervektor). Zudem muss der Drehimpuls um drei Komponenten zu einem vierdimensionalen, schiefsymmetrischen [[Tensor]] erweitert werden. Die elektrische und die magnetische Feldstärke werden zum vierdimensionalen, schiefsymmetrischen [[Tensor]] des [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetischen Feldes]] zusammengefasst.
 [[Kategorie:Basis]]