Homogener Stoff

Modell

Der homogene Stoff ist der eigentliche Modellkörper der Thermodynamik. Der Zustand eines homogenen Stoffes ist durch seinen Druck und seine Temperatur (Zustandsdiagramm) vollständig beschrieben. Der Stoff kann flüssig oder gasförmig sein. Liegt der Zustand auf der Dampfdruckkurve, koexistieren beide Aggregatszustände. Da sowohl der Druck als auch die Temperatur zu jedem Zeitpunkt überall gleich sind, breitet sich der Schall undendlich schnell durch den Körper aus und die Wärmeleitfähigkeit des Stoffes ist beliebig gross. Das Modell des homogenen Stoffes kann also nur dann verwendet werden, wenn die Vorgänge so langsam ablaufen, dass die Ausbreitung der Wärme und des Schalls im Innern des Körpers keine Rolle mehr spielen.

thermische und mechanische Verbindung des homogenen Stoffes

Der Zustand des homogenen Stoffes kann auf zwei Arten verändert werden, durch heizen und kühlen oder durch komprimieren und entspannen. Um diese Prozesse kontrolliert ablaufen zu lassen, gehen wir von folgender Anordnung aus. Der Stoff befinde sich in einem Zylinder, der mit einem Kolben verschlossen ist. Der Zylinderboden sei ideal wärmedurchlässig (diatherm), besitze aber selber keine Wärmekapazität. Die Zylinderwände und der Kolben sind absolut wärmeisoliert (adiabatisch). Der reibunsfrei verschiebbare Kolben schliesst den Stoff hermetisch gegen eine inkompressible Flüssigkeit ab. Der Druck in der Flüssigkeit und im homogenen Stoff sind somit immer gleich gross.

Das Systeme homogener Stoff besitzt eine direkte thermische und eine indirekte hydraulische Verbindung zur Umgebung. Es kann deshalb mit der Umgebung Energie in Form von Wärme und Arbeit austauschen.

Bilanz

Der homogene Stoff kann über zwei Verbindungen (Portale oder Konnektoren) Entropie und Volumen mit der Umgebung austauschen. Weil der Stoff homogen ist und die Verbindungen ideal sind, wird innerhalb des Systems keine Entropie produziert. Folglich kann die Entropiebilanz und die Volumenbilanz in einfachster Form hingeschrieben werden

Entropiebilanz:[math]I_S = \dot S[/math]

Volumenbilanz:[math]I_V = \dot V_{Fluid} = -\dot V[/math]

Die Energie des Systems kann mit Hilfe des zugeordneten Energiestromes als Funktion der beiden Primärgrössen Volumen und Entropie geschrieben werden.

[math]\dot W = I_W_{therm} + I_W_{mech} = T I_S + p I_V = T \dot S - p \dot V[/math]

Die Gleichsetzung der Temperatur im thermischen Portal mit dem Wert im Stoff sowie des Drucks in der Flüssigkeit mit dem des Stoffs ist nur unter diesen idealisierten Bedingungung möglich. Die Formulierung, wonach die Änderung der Energie nur von den vier Grössen Temperatur, Entropie, Volumen und Druck abhängt, verbietet eine Entropieproduktion im Stoff selber.

konstitutive Gleichungen

Einfache Systeme wie etwa ein Blasenspeicher oder ein elektrischer Kondensator ändern ihr Potenzial, indem sie die zugehörige Primärgrösse aufnehmen oder abgeben. Der starre Körper verhält sich bezüglich Impuls und Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes analog. Jede Änderung einer Geschwindigkeitskomponente des Massenmittelpunktes ist die direkte Folge eines Impulsaustausches. Bei der Rotations des starren Körpers trifft dies nicht mehr zu: jede der drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit hängt von allen drei Drehimpulskomponenten ab.

Beim homogenen Stoff können nun sowohl das thermische Potenzial, die absolute Temperatur, wie auch das hydrodynamische Potenzial, der absolute Druck, sowohl von der Entropie als auch vom Volumen abhängen. Diese Abhängigkeit kann aber nicht beliebig sein, weil sonst die Energie des Stoffes nicht mehr nur eine Funktion der Entropie und des Volumens ist. Schreibt man die Energie als Funktion der Entropie und des Volumens und leitet diese Zustandsgrösse nach der Zeit ab, erhält man

[math]\dot W(S,V) = W_{,S} \dot S + W_{,V} \dot V[/math]

Zur Beschreibung der partiellen Ableitung nach der Entropie und dem Volumen ist die Einstein-Notation verwendet worden.

Vegleicht man diesen Ausdruck mit der Energiebilanz, kann die Temperatur als partielle Ableitung der Energie nach der Entropie und der Druck als negative partielle Ableitung der Energie nach dem Volumen geschrieben werden. Weil nun sowohl die Temperatur als auch der Druck gleich der partiellen Ableitung einer skalaren Funktion ist, gelten die Maxwell-Relationen, wonach die Rotation eines Gradienten verschwinden muss

[math]T(S,V)_{,V} = -p(S,V}_{,S}[/math]

Diese Bedingung muss unabhängig von der konkreten Gestalt der beiden konstitutiven Gleichungen erfüllt sein.

Bei homogenen Stoffen hängen in der Regel Temperatur und Druck sowohl von der Entropie als auch dem Volumen ab. Diese Abhängigkeiten unterliegt aber der oben formulierten Einschränkung, damit die Energie eines bestimmten Zustandes gegeben ist.

Prozess

Der homogene Stoff kann vier einfach zu realisierende Prozesse durchlaufen. In zwei Prozessen ist je ein Portal geschlossen, in den zwei andern ist das Portal hemmungslos mit der Umwelt verbunden, so dass innen und aussen der gleiche Druck bzw. die gleiche Temperatur herrscht.

Prozess	Beschreibung	thermisches Portal	hydraulisches Portal
isochor	V =konst	aktiv	geschlossen
isobar	p =konst	aktiv	direkt verbunden
isentrop	S =konst	geschlossen	aktiv
isotherm	T =konst	direkt verbunden	aktiv