Widerstand und Prozessleistung

Elektrische Ladung kann praktisch nicht gespeichert werden. Bringt man zum Beispiel 50 nC (Nanocoulomb oder 50 nAs) elektrische Ladung auf eine Metallkugel von 20 cm Durchmesser, steigt deren Potential auf etwa 5000 V an. In der Elektrodynamik erscheint deshalb die Ladungsbilanz meist nur in Form des Knotensatzes (Summe über alle Stromstärken bezüglich eines Verzweigungspunktes gleich Null). Zudem muss man sich nicht um das Vorzeichen kümmern. Da alle Ströme im Kreis herum fliessen, sind Strom und Spannung nur so zu orientieren, dass der Energieumsatz richtig beschrieben wird. Ordnet man Strom und Spannung das entgegen gesetzte Vorzeichen zu, hat das keinen Einfluss auf den Energietransport.

Diese vereinfachte Betrachtungsweise erlaubt eine Analogie zur Hydrodynamik. Alles was Sie dort gelernt haben, kann direkt auf die elektrischen Netzwerklehre übertragen werden. Und das wollen wir jetzt über drei Vorlesungen hinweg tun.

Hydroelektrische Analogie

Vergleich zwischen Wasser- und Stromkreis

Die hydroelektrische Analogie baut auf die Anschaulichkeit der Hydrodynamik. Volumen und Druck sind einfacher zu verstehen als Ladung und Potenzial. Trotz der guten Übereinstimmung zwischen dem Wasser- und dem elektrischen Stromkreis sollten Sie nicht vergessen, dass der elektrische Strom in Drähten nichts mit Bewegung zu tun hat.

Analoge Grössen:

hydraulisch	Zeichen	Einheit	elektrisch	Zeichen	Einheit
Volumen	V	Kubikmeter (m3)	elektrische Ladung	Q	Coulomb (C)
Volumenstrom	IV	m3/s	elektrischer Strom	I	Ampère (A)
Druck	p	Pascal (Pa)	elektrisches Potential	φ	Volt (V = J/C)
Druckdifferenz	Δ p	Pascal (Pa)	Spannung	U	Volt (V = J/C)

Ein elektrischer Strom ist wie der Volumenstrom ein Energieträger, der durch Netzwerke im Kreis herum fliesst. In den einzelnen Knoten werden Ströme zusammengeführt und wieder auf verschiedene Zweige verteilt.

Wie beim Zihlkanal, der Verbindung zwischen Neuenburger- und Bielersee, muss in jedem Zweig ein Bezugspfeil (rot) eingeführt werden, der die positive Stromrichtung anzeigt. Fliesst ein Strom gegen den Bezugspfeil, nimmt dessen Stärke einen negativen Wert an. Die Spannung wird ebenfalls mit einem Pfeil (blau) markiert. Der Spannungspfeil zeigt vom hohen zum tiefen Potenzial. Bei einem positiven Wert der Spannung liegt das höhere Potenzial an der Basis und das tiefere an der Spitze des Pfeils. Auf die Hydrodynamik übertragen zeigt der Druckpfeil vom hohen zum tiefen Druck.

Geht man zu einem bestimmten Zeitpunkt in Gedanken von einem Knoten längs einer Masche im Kreis herum, ist die Summe über alle Potenzialdifferenzen (Spannungen) gleich Null. Auch diese Aussage ist vom hydraulischen Stromkreis her gut zu verstehen: in einem Rohrleitungssystem ist längs eines geschlossenen Pfades die Summe über alle Druckdifferenzen zu jedem Zeitpunkt gleich Null.

Knoten und Maschen

Die Ladungsbilanz bezüglich eines Knotens und das Verschwinden der Spannung längs eines vollen Umgangs werden in der Elektrodynamik als zwei Gesetze formuliert:

Knotensatz:

[math]\sum_i I_i=0[/math]

Maschensatz:

[math]\sum_i U_i=0[/math]

Widerstand

Metalldrähte und andere passive Zweipole setzen dem elektrischen Strom einen Widerstand entgegen. Ein Widerstand beschreibt das Verhältnis von Antrieb und Erfolg. In der Hydrodynamik haben wir den Widerstand als Druckdifferenz zwischen zwei Querschnittflächen dividiert durch die Stärke des durchfliessenden Stromes definiert. Diese Definition hat sich im laminaren Strömungsbereich als brauchbar erwiesen. Bei turbulenter Strömung mussten wir ein anderes Gesetz einführen, weil der Widerstand sonst selber proportional mit der Stromstärke angewachsen wäre.

Definition

In der Elektrodynamik ist der Widerstand (R) als Verhältnis von Spannung U und Stromstärke I definiert (die Spannung ist als Potenzialdifferenz über dem Zweipol zu messen)

[math]R=\frac{U}{I}[/math]

Diese Definition, die Sie auswendig wissen sollten, weist dem Widerstand die Einheit Volt durch Ampère zu. Die Einheit des Widerstandes heisst auch Ohm (Ω)

1 Ω = 1 V/A

Ohmsches Gesetz

lineare Kennlinie

In metallischen Leitern sind immer genügend Leitungselektronen vorhanden. Dies äussert sich in der Unabhängigkeit des Widerstandes von der Stromstärke. Ist die dissipierte Leistung so gering, dass die Temperatur des Leiters konstant bleibt, lautet das Ohmsche Gesetz

[math]R=\frac{U}{I}=konstant[/math]

Im homogenen elektrischen Feld ist die Feldstärke E gleich Spannung dividiert durch die Distanz längs den Feldlinien (Volt pro Meter). An jedem Punkt des Raumes kann der Strom mit der vektorwertigen Grösse Stromdichte angegeben werden. Die Stromdichte sagt, wie viel Ladung pro Fläche und pro Zeit durch diesen Punkt transportiert wird (Ampère pro Quadratmeter). Das Ohmsche Gesetz besagt nun, dass die elektrische Feldstärke (E) eine Stromdichte (j) antreibt, wobei der spezifische Widerstand ρ als vom Material abhängiger Faktor zwischen die beiden Grössen wirkt

[math]\vec E=\varrho \vec j[/math]

Nimmt man eine homogene Stromdichte an, wie sie in einem Metalldraht zu finden ist, kann die Feldstärke mit der Länge des Drahtes (l) und die Stromdichte mit dem Querschnitt des Drahtes (A) multipliziert werden

[math]lE=\varrho\frac{l}{A}jA[/math]

Links steht dann wieder die Spannung und ganz rechts die Stromstärke. Folglich ist der Widerstand gleich dem spezifischen Widerstand mal die Drahtlänge durch den Drahtquerschnitt

[math]R=\varrho\frac{l}{A}[/math]

Der spezifische Widerstand ρ wird in Ωm oder in Ωmm²/m gemessen.

Temperatur

Der elektrische Widerstand hängt von der Temperatur des stromdurchflossenen Materials ab. Diese Abhängigkeit kann durch eine Widerstands-Temperatur-Kurve dargestellt werden. Oft legt man eine Gerade oder eine Parabel an diese Kurve und gibt nur die zugehörigen Koeffizienten an. Nimmt man eine Parabel, lautet die Beschreibung für die Temperatur θ

[math]\varrho=\varrho_{\vartheta_0}(1+\alpha(\vartheta - \vartheta_0)+\beta(\vartheta - \vartheta_0)^2)[/math]

Der lineare Temperaturkoeffizient α wird in °C^-1 und der quadratische β in °C^-2 gemessen. In der Elektrotechnik wird oft nur die lineare Formulierung (ohne quadratischen Term) verwendet. In diesem Fall sollte die Temperatur nicht zu stark vom Bezugspunkt (üblicherweise 20°C) abweichen

[math]R=R_{20}(1+\alpha_{20}(\vartheta - 20\,^{\circ}\mathrm{C}))[/math]

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur grösser oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern oder PTC (positive temperature coefficient) und Heissleitern oder NTC (negative temperature coefficient).

Serieschaltung

zwei Widerstände in Serie

Bei der Serieschaltung fliesst der Strom nacheinander durch alle Elemente hindurch. Die Spannung über dem ganzen System ist dann gleich der Summe aller Einzelspannungen.

[math]U_{ges}=\sum_i U_i[/math]

Ersetzt man links und rechts des Gleichheitszeichens die Spannungen mit Hilfe der Definition des Widerstandes (U = RI) durch die Stromstärke, erhält man die Additionsvorschrift für die Widerstände bei Serieschaltung

[math]R_{ges}=\sum_i R_i[/math]

Bei der Serieschaltung verstärken sich die Widerstände in ihrer Wirkung, d.h. der Gesamtwiderstand ist sicher grösser als der Einzelwiderstand. Dies folgt einerseits aus der oben aufgeführten Additionsvorschrift, anderseits aus dem Schaltungsaufbau: fügt man einen noch so kleinen Widerstand in den Stromkreis hinein, behindern dieser den Stromfluss zusätzlich.

Parallelschaltung

zwei Widerstände in Serie

Bei der Parallelschaltung schwächen sich die Widerstände in ihrer Wirkung. Jedes Element, das zugeschaltet wird, verstärkt den Gesamtstrom. Dafür liegt über jedem Widerstand die gleiche Spannung. Denkt man sich alle parallel geschalteten Widerstände zu einem einzigen Zweipol zusammen geschlossen, gilt

[math]I_{ges}=\sum_i I_i[/math]

Ersetzt man beidseits des Gleichheitszeichens die Stromstärken mit Hilfe der Definition des Widerstandes (I = U/R), kürzt sich die gemeinsame Spannung raus und man erhält man die Additionsvorschrift für die Widerstände bei Parallelschaltung

[math]\frac{1}{R_{ges}}=\sum_i\frac{1}{R_i}[/math]

Der Gesamtwiderstand ist bei Parallelschaltung immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Dies folgt einerseits aus der oben aufgeführten Additionsvorschrift für Widerstände bei Parallelschaltung, anderseits aus dem Schaltungsaufbau: nimmt man nur den kleinsten Widerstand und schaltet einen grösseren zu, wird der Gesamtwiderstand kleiner, weil der Strom nun über zwei getrennte Wege fliessen kann.

Prozessleistung

Wo fliesst die Energie durch?

Der zugeordnete Energiestrom spielt in der Elektortechnik keine grosse Rolle. Nimmt man zum Beispiel eine Batterie, die ein Glühbirnchen zum Leuchten bringt, spielt es keine Rolle, welcher der beiden Drähte geerdet ist. Man darf die beiden Drähte sogar abwechslungsweise mit der Erde verbinden. Dann ist der von der Batterie zur Glühbirne transportierte Energiestrom dem jeweils nicht geerdeten Draht zuzuschreiben. Beim Fahrrad oder beim Auto lässt man den einen Draht sogar ganz weg; der Stromkreis wird über der Rahmen bzw. die Karosserie kurzgeschlossen. Glühbirnen, Akkus, Dynamo und all die andern Geräte müssen deshalb immer mit einem Anschluss an "Masse" gehängt werden.

Der elektrische Strom setzt immer dann Energie um, wenn er eine Potenzialdifferenz durchfliesst. Die Prozessleistung ist dann gleich Spannung U mal Stromstärke I

[math]P=UI[/math]

Im Gegensatz zum zugeordneten Energiestrom spielt bei der Leistung der Bezugspunkt des elektrischen Potenzials keine Rolle, da die Spannung gleich der Differenz der beiden Potenziale ist.

Das Bild des Wasserfalles ist in der Elektrodynamik so ergiebig, weil sowohl beim Wasserkraftwerk als auch beim Elektromotor der Energieumsatz pro Zeit, die Leistung, nur vom durchfliessende Strom und von der wirkenden Potenzialdifferenz abhängt. Speziell beim Gleichstromkreis kann man sich die Kaskade von Wasserfälle geradezu vorstellen: in jedem Widerstand fällt der Strom über ein (Potenzial)-Gefälle und setzt dabei eine Leistung um. Beim Minuspol der Spannungsquelle liegt der "tiefste" und beim Pluspol der "höchste" Punkt der Schaltung.

Elektromagnetisches Feld

elektrisches Feld

Elektrisches Feld bei einer Hochspannungsleitung

Das elektrische Potenzial wird durch die fein verteilte Ladung auf den Leiteroberflächen aufgebaut. Erdet man bei einem einfachen Stromkreis (Batterie mit Glühbirne) abwechslungsweise den einen oder den andern Draht, verändert sich jedes Mal die elektrische Ladung auf den Drähten. Diese Ladung, die für das elektrische Feld und somit das Potenzial verantwortlich ist, hat direkt nichts mit dem durchfliessenden Strom zu tun.

So richtig interessant wird die Sache erst bei der Wechselspannung. Im europäischen Hochspannungsnetz, in den weitverzweigten Kabeln der lokalen Stromversorgung und in jeder Steckdose ändert sich das Potenzial mit einer Frequenz von 50 Hertz. In jeder Hunderstel Sekunde muss die Leitung mit der entsprechenden Ladung gefüllt und wieder geleert werden. Obwohl zum Aufbau hoher Potenziale nur wenig Ladung benötigt wird, würde dieser Ladungsaustausch europaweit ziemlich viel ausmachen. Nun addiert sich aber die Summe der Ladungen in den drei Drähten einer Hochspannungsleitung jederzeit zu Null. Folglich fliessen diese zum Aufbau der Potenziale notwendigen (kapazitiven) Ströme nur lokal. Auch die Stare und Schwalben, die sich gegen Herbst auf Hochspannungsleitungen versammeln, werden dauern auf- und umgeladen. Weil ihre elektrische Kapazität sehr klein ist, fliessen auch nur harmlose Ströme zwischen Vögel und Hochspannungsnetz hin und her.

magnetisches Feld

Magnetfeld bei einer Hochspannungsleitung

Fliesst zusätzlich ein elektrischer Strom, baut sich ein Magnetfeld um den stromführenden Leiter auf. Das elektrische Feld, das durch die auf den Leiterobflächen sitzenden Ladungen erzeugt wird, und das durch den im Leiter fliessenden Strom aufgebaute Magnetfeld sind ziemlich unabhängig voneinander. Erst wenn ein einzelner Draht blind endet und die Frequenz hoch geschraubt wird, macht sich die Kopplung zwischen elektrischem und magnetischem Feld bemerkbar. Dann beginnen sich die elektromagnetischen Felder zu verselbständigen und das Drahtstück wirkt als Antenne.

Elektromagnetische Felder transportieren Impuls, Drehimpuls Entropie und Energie. Alleine aus den Kenntnissen der elektrischen und magnetischen Feldstärke lassen sich Dichte und Stromdichte von Impuls und Energie berechnen. Auch die Energie, die von der Batterie zur Glühbirne transportiert wird, geht über das elektromagnetische Feld und nicht etwa durch den Draht. In diesem Licht besehen erstaunt, dass die hydroelektrische Analogie überhaupt funktioniert. Obwohl elektrische Ladungen und Ströme elektromagnetische Felder erzeugen, welche dann die Energie schubweise von den Kraftwerken zu den Verbrauchern transportieren, kann man das ganze Geschehen mit Strom und Spannung weit gehend erklären. Setzt man den elektrischen Strom mit dem Volumenstrom gleich und die Spannung mit der Druckdifferenz, gewinnt man bezüglich den Vorgängen in elektrischen Netzwerken eine konkrete und brauchbare Vorstellung. Einzig die elektromagnetische Strahlung, wie sie von vielen technischen Geräten erzeugt wird, entzieht sich diesem doch recht handfesten Bild.