Konvektiver Transport, Energieströme

Impuls, Drehimpuls oder Entropie können durch die Materie hindurch (leitungsartig), durch das Gravitationsfeld oder das elektromagnetische Feld (strahlungsartig, bezüglich eines Körpers quellenartig) oder zusammen mit der Materie (konvektiv) transportiert werden. Die Stärken des leitungsartigen oder quellenartigen Impulsaustausches bezüglich eins Körpers nennt man Kraft auf den Körper. Die Stärke des konvektiven Impulsstromes heisst dagegen einfach nur Impulsstrom.

Seit Albert Einstein 1905 gezeigt hat, dass Energie nur ein anderes Wort für Masse ist, wissen wir, dass der Energiebegriff des neunzehnten Jahrhunderts (1. Hauptsatz der Thermodynamik) eine reine Buchhaltungsgrösse ist. Trotzdem lässt sich der Energietransport in konvektive und nichtkonvektive Anteile aufspalten.

Lernziele

Sie lernen in dieser Vorlesung

Volumenstrom

Spielt die Kompression einer Flüssigkeit keine wesentliche Rolle, kann bei konvektiven Transportprozessen der Volumenstrom als Führungsgrösse genommen werden. Die Stromstärken aller andern mengenartigen Grössen lassen sich dann nach einem einfachen Schema aus der Volumenstromstärke berechnen. Bedenkt man, dass eine beliebige Dichte als Menge pro Volumen berechnet wird, gilt bezüglich der Strom-Strom-Kopplung bei konvektiven Transporten

Stromstärke einer beliebigen Menge = Dichte dieser Menge mal Volumenstromstärke

Für den Massenstrom gilt demnach

[math]I_m=\varrho I_V[/math]

Sucht man nach der Stromstärke einer Stoffmenge und kennt die Dichte dieser Stoffmenge (Stoffmenge pro Volumen gemessen in Mol pro Kubikmeter), lautet die Kopplungsgleichung

[math]I_n=\varrho_n I_V[/math]

Kennt man die Dichte der Entropie S in einem strömenden Fluid (die Entropie ist die Grundgrösse der Thermodynamik; im Alltag kennt man die Entropie unter dem Begriff Wärme), gilt

[math]I_S=\varrho_S I_V[/math]

Die Dichte des Impulses ist dann gleich Massendichte mal Geschwindigkeit. Folglich gilt für die Stärke des konvektiven Impulsstromes

[math]\begin{pmatrix} I_{px} \\ I_{py} \\ I_{pz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \varrho_{px} \\ \varrho_{py} \\ \varrho_{pz}\end{pmatrix}I_V=\varrho\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}I_V[/math]

Die Stärke eines konvektiven Impulstransportes ist gleich Impulsdichte mal Volumenstromstärke oder gleich Massendichte mal Strömungsgeschwindigkeit mal Volumenstromstärke. Mit Geschwindigkeit ist hier der Mittelwert auf der Referenzfläche gemeint, bezüglich deren die Ströme gemessen werden.

Das Kopplungsschema gilt für eine beliebige Menge M, falls deren Dichte ρ_M bekannt ist

[math]I_M=\varrho_M I_V[/math]

Massenstrom

Gase verändern ihr Volumen entsprechend ihrer Temperatur und dem herrschenden Druck. Deshalb nimmt man bei Gasen die Masse als Führungsgrösse. Um den Transport einer beliebigen Menge zu beschreiben, muss deren spezifischer Wert (Menge pro Masse) bekannt sein. Dann gilt bezüglich der Massenstromstärke ein ähnlicher Zusammenhang wie bei der Volumenstromstärke

Stromstärke einer beliebigen Menge = Menge pro Masse mal Volumenstromstärke

Nimmt man das Volumen als Menge, ist die zugehörige Stromstärke gleich spezifisches Volumen mal Stärke des Massenstromes

[math]I_V=V_{spez}I_m=\frac{1}{\varrho}I_m[/math]

Oft wird das spezifische Volumen (Volumen pro Masse), das gleich dem Kehrwert der Dichte ist, mit v bezeichnet. Nur besteht hier die Gefahr, dass man dann spezifisches Volumen und Geschwindigkeit verwechselt.

Sucht man nach der Stromstärke einer bestimmten Stoffmenge, gilt ein analoger Zusammenhang

[math]I_n=n_{spez}I_m=\frac{1}{\hat m}I_m[/math]

Der Kehrwert der spezifischen Stoffmenge ist die Molmasse (Masse pro Mol). Um eine gewisse Konsistenz zu wahren, wird in der Systemphysik jede molare Grösse mit einem Dach (hat) gekennzeichnet.

Der spezifische Impuls ist als Impuls pro Masse definiert. Folglich ist der spezifische Impuls gleich der Strömungsgeschwindigkeit

[math]\begin{pmatrix}I_{px}\\I_{py}\\I_{pz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}I_m[/math]

Auch hier ist mit Geschwindigkeit wieder das arithmetische Mittel über die Referenzfläche gemeint. Mit konvektiven Impulsströmen werden wir uns in der nächsten Vorlesung im Zusammenhang mit der Impulsbilanz bezüglich offener Systeme beschäftigen.

Energietransport

Ein Körper kann drei verschiedene "Energieformen" speichern, wobei zwei vom Beobachter (Bezugssystem) abhängen und als äussere Energieformen bezeichnet werden. Die dritte Form, die dem Körper uneingeschränkt zugeschrieben werden kann, heisst innere Energie. Die beiden äusseren Formen sind die potentielle Energie und die Bewegungsenergie. Die potentielle Energie steckt entweder im Gravitationsfeld oder im elektromagnetischen Feld. Die Bewegungsenergie wird entweder zusammen mit dem Impuls (kinetische Energie) oder zusammen mit dem Drehimpuls (Rotationsenergie) gespeichert.

Weil die beiden äusseren Energieformen proportional zur Masse sind, können die beiden Energiedichten mit Hilfe der Massendichte geschrieben werden

Dichte der Gravitationsenergie: [math]\varrho_{W_{G}}=\varrho g h[/math]

Dichte der kinetischen Energie: [math]\varrho_{W_{kin}}=\frac{\varrho}{2}v^2[/math]

Die innere Energie ist gemäss Albert Einstein gleich der Masse mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Weil dies eine viel zu hohen Wert liefert, setzt man die innere Energie eines Körpers bei einem bestimmten Zustand (Druck und Temperatur) gleich Null. Die Energiedichten (oft mit u bezeichnet) verschiedener Stoffe findet man in Tabellenwerken und Datenbanken.

Der konvektive Energietransport setzt sich aus den drei oben genannten Termen zusammen. Dazu kommt noch der hydraulische Energiestrom, wie Sie ihn in einer Vorlesung zur Hydrodynamik kennen gelernt haben. Fasst man alle vier Transportarten zusammen, erhält man die von einer Flüssigkeit total transportierte Energie

[math]I_W=\left(p+\varrho gh+\frac{\varrho}{2}v^2+\varrho_{W}\right)I_V[/math]

Bei Gasen und kompressiblen Flüssigkeiten ordnet man die Energie besser der Masse statt dem Volumen zu

[math]I_W=\left(\frac{p}{\varrho}+gh+\frac{v^2}{2}+w\right)I_m[/math]

Aus Konsistenzgründen schreiben wir für die Dichte der inneren Energie w statt u. Man sollte eine Grösse, auch wenn sie wie die Energie kaum fassbar ist, immer mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen.

Satz von Bernoulli

Der Satz von Bernoulli ist erstmals von Daniel Bernoulli (1700 -1782) hergeleitet worden. Damals sah man die Energie noch nicht als allgemeine, bilanzierfähige Grösse. Aus heutiger Sicht ist der Satz von Bernoulli ein Spezialfall einer mechanischen Energiebilanz. Greift man ein Stück einer Rohrleitung heraus, kann man unter Vernachlässigung der nichtmechanischen Energieströme eine Energiebilanz formulieren

[math]I_{W1}+I_{W2}=\dot W[/math]

Modelliert man die Strömung im Rohr als

• stationär
• reibungsfrei
• inkompressibel

verschwindet die Änderungsrate der inneren Energie. Zudem ist die Stärke des Volumenstromes am Eingang (entgegengesetzt) gleich der Stromstärke am Ausgang. Folglich gilt

[math]I_{W1}+I_{W2}=\left(p_1+\varrho gh_1+\frac{\varrho}{2}v_1^2\right)I_{V1}+\left(p_2+\varrho gh_2+\frac{\varrho}{2}v_2^2\right)I_{V2}=0[/math]

Kombiniert diese Energiebilanz mit der Volumenbilanz bezüglich der inkompressiblen, stationären Strömung

[math]I_{V1}+I_{V2}=0[/math]

erhält man das Gesetz von Bernoulli

[math]p_1+\varrho gh_1+\frac{\varrho}{2}v_1^2=p_2+\varrho gh_2+\frac{\varrho}{2}v_2^2[/math]

Der Satz von Bernoulli kombiniert drei Terme, welche alle in Pascal gemessen werden können. Aus historischen Gründen heisst der zweite Term hydrostatischer Druck und der dritte Staudruck. Sie ersparen sich viel Ärger, wenn sie alle drei Terme als Energiebeladungsmass des Volumenstromes interpretieren.