Energiestrom und Prozessleistung

Der Begriff Energie ist vom schottischen Physiker William Rankine im Jahr 1852 eingeführt worden. Das Wort Energie leitet sich aus dem Griechischen ab (ἐν = in, innen und ἔργον = Werk, Wirken). Vor der Entdeckung des ersten Hauptsatzes der Wärmelehre, der die Energiebilanz bezüglich eines homogenen Systems beschreibt, kannte man die Energie nur in der Mechanik. Deshalb nannte man sie auch "lebendige Kraft" und sprach von der "Erhaltung der Kraft". 1905 hat Albert Einstein die Energie als eigenständige Grösse wieder abgeschafft, indem er zeigte, dass Energie und Masse äquivalent sind. Energie ist Masse, d.h. die Energie selber macht die Körper schwer und träge. Masse kann demnach auch nicht in Energie umgewandelt werden, weil Masse schon Energie ist.

Trotz der von Einstein gefundenen Gleichwertigkeit von Energie und Masse tun wir auch heute noch so, wie wenn die Energie eine eigenständige Grösse wäre. Dies ist ein Stück weit korrekt und sinnvoll. Nur sollte man sich der enge Grenzen, die dem Energiebegriff gesetzt sind, bewusst sein. Energie ist eine rein buchhalterische Grösse, mit deren Hilfe sich verschiedene Prozesse vergleichen lassen. Erklären kann man mit der Energie allein aber eigentlich nichts.

Die Physik der dynamischen Systeme weist der Energie eine eindeutig definierte Rolle zu, die sich über alle Zweige der klassischen Physik erstreckt. Energie kann von einer zweiten Grösse (Energieträger genannt) transportiert und zusammen mit dieser gespeichert werden. Die pro Zeit mittransportierte Energie nennt man dann zugeordneter Energiestrom. Energie kann aber auch in einem Prozess von einem Energieträger auf einen andern umgeladen werden. Dabei setzt der erste Trägerstrom eine Prozessleistung frei und der zweite nimmt sie auf.

In dieser Vorlesung lernen Sie den zugeordneten Energiestrom und die Prozessleistung am Beispiel des Massen- und Volumenstromes kennen. Prägen Sie sich diese Grundstrukturen ein, denn diese tauchen immer wieder auf.

Lernziele

In dieser Vorlesung lernen Sie

wie der zugeordnete Energiestrom in der Hydrodynamik berechnet wird
von welchen Grössen die Leistung bei einem hydrodynamischen Prozess abhängt
wann Energie Arbeitsvermögen und wann nur eine Bilanzgrösse ist
wie man die transportierte Energie aus Volumenstrom und Druck berechnet
wie man die umgesetzte Energie aus Volumenstrom und Druckdifferenz berechnet
wie man die umgesetzte Energie bei einem Massenstrom im Gravitationsfeld berechnet

Energiesysteme in einem Flugzeug

Gewöhnlich haben grosse Passagierflugzeuge drei unabhängig voneinander arbeitende hydraulische Systeme, mit denen Ruder, Klappen und Fahrgestell bewegt werden. Bis anhin arbeiten diese Systeme mit einem Druck von 3000 psi (207 bar). Beim A 380 wurde der Druck in den Hydrauliksystemen auf 5000 psi (345 bar) erhöht. Dadurch können Leitungen mit einem um 30 % geringeren Durchmesser verwendet werden. Hätte man den Druck bei 3000 psi belassen, wären die Leitungen schnell armdick geworden. Jetzt liegt der maximale Durchmesser bei gut 2 Zoll (5,08 cm). Zudem wird es im Airbus A 380 nicht mehr drei, sondern nur noch zwei hydraulische Systeme geben. Das dritte System wird durch zwei elektrische ersetzt. Die Stellmotoren für Klappen und Ruder werden so entweder mit hydraulischer Energie fernversorgt oder eine elektrische Pumpe erzeugt den elektrischen Druck vor Ort am Stellantrieb.

Die Konstrukteure grosser Verkehrsflugzeuge können offensichtlich zwischen zwei Energietransportsystemen wählen, dem elektrischen und dem hydraulischen. In beiden Fällen hängt der Energietransport von der Stromstärke und einer zweiten Grösse, die man Potenzial nennt, ab. Die Stärke des Energiestromes (gemessen in Watt) wird folglich durch die elektrischen bzw. die Volumenstromstärke und das elektrischen Potenzial bzw. den Druck bestimmt. Im internationalen Einheitensystem sind die Grössen so definiert, dass zur Berechnung des Energiestromes nur das Produkt aus Stromstärke (Energieträger) und Potenzial (Beladungsmass) gebildet muss.

Druck als Energiebeladungsmass

In der Hydro- und Thermodynamik erscheint der Druck als Potenzial. Der Druck ist das Energiebeladungsmass der Volumenstromes: je höher der Druck in einer Flüssigkeit oder einem Gas, desto mehr Energie wird vom Fluidum mitgenommen. Diese Bedeutung des Drucks ist viel einfacher zu verstehen als der Zusammenhang mit der Kraft. Deshalb betrachten wir den Druck vorerst nur als Energiebeladungsmass oder hydrodynamisches Potenzial. Der Druck wird mit einem Manometer gemessen.

In hydraulischen Systemen wird primär Energie transportiert. Der vom Öl transportierte Energiestrom ist um so grösser, je höher der Druck ist und je mehr Öl durch die Leitung fliesst. Der Zusammenhang zwischen der Volumenstromstärke I_V, dem Druck p und dem zugeordnetem Energiestrom I_W ist denkbar einfach: der zugeordnete Energiestrom ist gleich Druck mal Volumenstromstärke

[math]I_W=pI_V[/math]

Der Energiestrom wird in Watt (W) gemessen und der Volumenstrom in Kubikmeter pro Sekunde. Folglich muss der Druck in Wattsekunde pro Kubikmeter oder Joule pro Kubikmeter angegeben werden. Für diese Druckeinheit existiert ein eigener Name: Pascal (Pa). Ein Pascal ist ein Joule pro Kubikmeter. Mit Hilfe des internationalen Einheitensystems kann Pascal auf die Basiseinheiten zurückgeführt werden

1 Pa = 1 kg/(s²m) = 1 Ws/m³ = 1 J/m³

Pascal ist eine sehr kleine Einheit: verteilt man eine Tafel Schokolade (100 g) gleichmässig über einen Tisch mit einem Quadratmerter Tischfläche, ist der Druck an der Unterseite der Schokoladeschicht um ein Pascal grösser als auf der Oberseite. Mit Bar ist eine zweite, viel grössere Druckeinheit zugelassen. Ein Bar sind hunderttausend Pascal

1 bar = 10⁵ Pa

Misst man den Druck in Bar statt in Pascal, muss der Volumenstrom in Zentiliter pro Sekunde gemessen werden, damit für den Energiestrom wieder Watt herauskommt

1 W = 1 bar * 1 cl/s

Wer nun einwenden möchte, dass der Druck als Kraft pro Fläche definiert sei, sollte bedenken, dass die Kraft ein Vektor ist, der Druck hier aber als Skalar angesehen wird. Und aus einem Vektor lässt sich durch Division kein Skalar herstellen. Mehr zu Kraft und Druck in den Vorlesungen zur Translationsmechanik.

zugeordneter Energiestrom

Die in einem hydraulischen System transportiere Energie ist gleich Druck mal Volumenstromstärke

[math]I_W=p I_V[/math]

Das Bild zeigt Druck und Volumenstrom in der Aorta eines Menschen in Funktion der Zeit. Bei einem Herzschlag steigt der Druck in kurzer Zeit an und es fliesst viel Blut durch die Aorta. Der Volumenstrom fällt dann rasch ab und der Druck steigt noch etwas höher. Danach kommt es zum interessanten Phänomen der Blutrückflusses. Anhand dieses Diagramms kann man nun mehrere Fragen beantworten

Wann transportiert der Blutstrom am meisten hydraulische Energie?
Wie gross ist dann die Fliessgeschwindigkeit?
Wie wird die Energie beim Rückfluss des Blutes transportiert?
Wie viel Energie wird während eines Herschlags durch die Aorta transportiert?

Das Produkt aus Druck und Volumenstrom ergibt den zugeordneten Energiestrom. Solange beide Grössen in der Zeit zunehmen, wächst die Stromstärke der mittransportierten Energie an. Weil im Bereich der Stromspitze der Druck nur noch leicht zunimmt, liegt das Maximum der Energiestromstärke ein klein wenig rechts des maximalen Volumenstromes. Der Strom erreicht einen Spitzenwert von 480 cm³/s bei einem Druck von 11.7 kPa. Rechnet man den Volumenstrom in Kubikmeter pro Sekunde und den Druck in Pascal um, ergibt das Produkt der beiden Grössen einen zugeordneten Energiestrom von 5.6 Watt. 60 Mal die Sekunde während etwa 80 Jahren muss das Herz diese Spitzenleistung erbringen (Sport, Stress und Sex noch nicht mitgerechnet).

Die Fliessgeschwindigkeit ist gleich Volumenstromstärke durch Querschnittfläche (vergl.: Bilanzieren). Nimmt man für die Aorta einen Querschnitt von 6 cm² an, ergibt sich eine Geschwindigkeit von 80 cm/s oder 0.8 m/s. Dieser Wert sollte nicht mit der Pulsgeschwindigkeit, die bei einem gesunden Menschen etwa 4 - 9 m/s beträgt, verwechselt werden.

Kurzfristig strömt das Blut in der Aorta gegen das Herz. Nimmt man die zugehörige Spitze von 110 cm³/s und multipliziert diesen Wert mit dem Druck, der dann immer noch 11.7 kPa beträgt, erhält man für diesen Zeitpunkt einen zugeordneten Energiestrom von 1.3 W, der mit dem Blut und damit auf das Herz zu fliesst. Energie wird in die gleiche Richtung wie das Volumen transportiert, solange der Druck positiv ist. Der Überdruck gegen die Umgebung, mit dem wir hier rechnen, könnte auch negativ werden. Das passiert im Luftstrom beim Einatmen. Die Luft fliesst durch die Luftröhre und Bronchien in die Lunge hinein, weil dort ein Unterdruck (negativer Überdruck) herrscht. Infolge des negativen Drucks (Unterdruck) fliesst der zugeordnete Energiestrom dann in die entgegengesetzte Richtung, also von der Lunge gegen Mund und Nase. Dies entspricht auch unserer Empfindung, glauben wir doch, dass wir das Bananenshake durch den Trinkhalm in den Mund ziehen und nicht, dass die Umgebungsluft die Flüssigkeit aus dem Glas hochdrückt. Nimmt man statt des Über- oder Unterdrucks den Absolutdruck, der immer positiv ist, fliesst die Energie ohne Einschränkung mit dem Volumenstrom. Zudem sind bei dieser Wahl des Druckbezugs alle Werte des zugeordneten Energiestromes um ein Bar mal die Volumenstromstärke grösser.

Merken Sie sich zwei Dinge

Die zugeordnete Energiestrom ist eine rein buchhalterische Grösse. Sein Wert, die Energiestromstärke gemessen in Watt, hängt von der Wahl des Bezugspunktes des Drucks ab (Nullpunkt des Potentials).
Solange der Druck positiv ist, fliesst die Energie mit dem Volumenstrom. Nimmt der Druck negative Werte an, fliessen Volumen und Energie gegeneinander.

transportierte Energie

Solange Druck und Volumenstrom konstant bleiben, ist die Frage nach der transportierten Energie einfach zu beantworten. Man berechnet zuerst den zugeordneten Energiestrom (Druck mal Volumenstrom) und multipliziert diesen Wert danach mit der Zeit. Steigen Druck und Volumenstrom linear an, könnte man die Werte nach dem halben Zeitabschnitt (Mittelwerte) nehmen, das Produkt bilden und mit dem Zeitabschnitt multiplizieren. Dieses Verfahren liefert aber den falschen Wert. Nachfolgend werden nun zwei Berechnungsverfahren vorgestellt. Mindestens eines der beiden sollten Sie beherrschen. Im Modellbildungslabor werden Sie dann noch lernen, wie man die transportierte Energie mit Hilfe eines systemdynamischen Werkzeuges ermittelt.

Beim ersten Verfahren bestimmt man den zugeordneten Energiestrom zu verschiedenen Zeitpunkten (möglichst viele) und überträgt diese Werte in ein Energiestrom-Zeit-Diagramm. Danach wendet man das gleiche Verfahren wie beim Volumgenstrom an: die transportierte Energie ist gleich der Fläche unter dem Energiestrom-Zeit-Diagramm (vergl.:Bilanzieren). Nimmt der Energiestrom negative Werte an, weil das Volumen zurück fliesst oder der Druck negativ wird, müssen die entsprechenden Flächenabschnitte negativ gezählt werden.

Das zweite Verfahren, das auf die Idee eines Studierenden am TWI zurückgeht, basiert auf einem dreidimensionalen Schaubild. Man fügt das Volumenstrom-Zeit- und das Druck-Zeit-Diagramm längs der Zeitachse so zusammen, dass sich die Volumenstrom- und die Druckachse in einem rechten Winkel schneiden. Schaut man von vorn auf dieses 3D-Schaubild, bilden Volumenstrom- und Druckachse zusammen mit dem momentanen Wert ein Rechtecke, dessen Fläche dem zugeordneten Energiestrom entspricht. Die Summe über all diese Rechtecke bildet dann einen Körper, der den Wert der transportierten Energie repräsentiert. Aus diesem Schaubild können neben den Werten von Druck und Volumenstrom auch noch der zugeordnete Energiestrom (Fläche des Rechtecks), das transportiert Volumen (Fläche unter der Volumenstrom-Zeit-Kurve) und die transportierte Energie (von Volumenstrom, Druck und Zeit gebildeter Körpers) herausgelesen werden.

Der Zusammenhang zwischen Druck, Volumenstrom und zugeordneten Energiestrom kann mittels eines Java-Applets dynamisch dargestellt werden. Lassen Sie das Applet einmal laufen, geben Sie eigene Werte ein und versuchen Sie, alle Zusammenhänge zu durchschauen.

Prozessleistung

Gravitationsfeld: Potenzial und Feldstärke

Im Gravitationsfeld der Erde schreibt man jedem Körper eine Gravitationsenergie (potentielle Energie) zu. Diese Energie ist gleich dem Produkt aus Masse und Gravitationspotenzial.

[math]W_G=m\varphi_G[/math]

Gemäss dieser Zuordnung wird das Gravitationspotenzial φ_G in Joule pro Kilogramm gemessen. Das Gravitationspotenzial ist im homogenen Gravitationsfeld gleich Feldstärke (g) mal Höhenunterschied

[math]\varphi_G=gh[/math]

Weil das Gravitationsfeld auf der Erdoberfläche etwa eine Stärke von 10 N/kg aufweist, nimmt das zugehörige Potenzial pro Meter Höhe um zehn Joule pro Kilogramm zu. Setzt man das Gravitationspotenzial auf Meereshöhe gleich Null, weist der Titicaca-See an der Oberfläche (3800 m.ü.M.) ein Gravitationspotenzial von 38 kJ/kg, der Zürichsee (400 m.ü.M.) 4 kJ/kg und das Tote Meer (400 m.u.M.) -4 kJ/kg auf.

Gravitation: zugeordneter Energiestrom und Prozessleistung

zugeordnete Energieströme und Prozessleistung

Jedem Liter Wasser, der in der Limmat durch Zürich fliesst, kann eine potenzielle Energie von 4 kJ zugeschrieben werden. Führt die Limmat 100 m³ oder 100 t Wasser pro Sekunde, transportiert sie einen zugeordneten Energiestrom von 400 MJ/s oder 400 MW. Mit diesem Strom könnte man einen beachtlichen Teil der Stadt mit Energie versorgen.

Wasser, das von Zürich bis nach Holland fliesst, setzt pro Kilogramm eine Energie von 4 kJ frei. Die Energie wird aber nur an den Stellen freigesetzt, an denen ein Gefälle vorhanden ist. Und damit kommen wir zu einem wesentlichen Punkt im Umgang mit der Energie:

jedem Massenstrom wird ein Energiestrom zugeordnet: [math]I_W = \varphi_G I_m[/math]
fällt der Massenstrom über eine Stufe hinunter, wird eine Prozessleistung freigesetzt: [math]P = I_{W1} - I_{W2} = \Delta \varphi I_m[/math]

Mathematisch kann die Prozessleistung aus dem zugeordneten Energiestrom durch Vergleich an zwei Punkten abgeleitet werden. Dennoch besteht zwischen diesen beiden Grössen ein Unterschied

zugeordneter Energiestrom:
- reine Buchhaltungsgrösse
- Wert hängt vom Bezugspunkt des Potenzials ab
Prozessleistung:
- Arbeitsvermögen pro Zeit
- Wert hängt von keinem Bezug ab

Hydrodynamik: zugeordneter Energiestrom und Prozessleistung

Geht man vom Massenstrom zum Volumenstrom über, muss das Gravitationspotential durch den Druck ersetzt werden. Am Unterschied zwischen zugeordnetem Energiestrom und Prozessleistung ändert sich aber nichts

jedem Volumenstrom wird ein Energiestrom zugeordnet: [math]I_W=pI_V[/math]
fällt der Volumenstrom über ein Druckgefälle, wird eine Prozessleistung freigesetzt: [math]P = I_{W1} - I_{W2} = \Delta p I_V[/math]

Der Unterschied zwischen zugeordnetem Energiestrom und Prozessleistung zieht sich durch die ganze Physik hindurch. Der zugeordnete Energiestrom ist ein rein buchhalterische Grösse und nur die Prozessleistung darf als Arbeitsvermögen pro Zeit bezeichnet werden.

Energiewandler

Energie wird in Prozessen freigesetzt oder aufgenommen. Zwei oder mehrere Prozesse koppeln über die Prozessleistung. Ein System, in dem zwei Prozesse über die Energie gekoppelt sind, nennt man einen Energiewandler. Maschinen bestehen meist aus ganzen Ketten von Energiewandlern.

hydro-gravitativ

Eine Druckleitung, welches das Wasserschloss bei der Staumauer mit dem Wasserkraftwerk verbindet, ist ein einfacher Energiewandler. Die Masse des hinunter fliessenden Wasser setzt Energie frei und das Volumen nimmt diese wieder auf. Im reibungsfreien Fall gilt

[math]P_G = \Delta \varphi_G I_M = - \Delta p I_V = - P_{hyd}[/math]

In der Regel wird die freigesetzte Prozessleistung mit einem Pluszeichen und die aufgenommene mit einem Minuszeichen versehen (am Verbraucher orientierte Vorzeichenkonvention). Zur Erinnerung: die Prozessleistung wird wie der zugeordnete Energiestrom in Watt gemessen.

hydro-elektrisch

Die Umlagerung vom Gravitationsfeld auf das Volumen wird kaum als Energiewandlung wahrgenommen, weil die beiden zugehörigen Ströme, der Massen- und der Volumenstrom, über die Dichte miteinander gekoppelt sind. Normalerweise tauschen zwei getrennte Stromkreise Energie untereinander aus. So werden beim Airbus A380 die Stellantriebe für Klappen und Ruder nicht nur wie bei den älteren Verkehrsflugzeugen über Hydraulikleitungen mit Energie versorgt, sondern auch noch vor Ort mittels elektrisch betriebenen Pumpen. Eine elektrisch betriebene Pumpe ist ein elektro-hydraulischer Wandler. Im Idealfall, bei verschwindend kleiner Reibung, gilt

[math]P_{el} = U I = - \Delta p I_V = - P_{hyd}[/math]

Im Innern der Pumpe wird die Energie in mehreren Schritten gewandelt (von einem Energieträger auf einen zweiten umgeladen). Eine direkte Energiewandlung wäre nur mit einem magneto-hydrodynamischen Wandler möglich, was in diesem Fall nicht sinnvoll ist.

Dissipation

Die in einem Prozess von einem Mengenstrom freigesetzte Prozessleistung (Energie pro Zeit) muss von mindestens einem zweiten Prozess aufgenommen werden, d.h. Energie kann sich nicht verselbständigen. Oft hat man Mühe, diesen zweiten Prozess und speziell die zugehörige Menge zu erkennen. Die Entropie verhält sich in dieser Beziehung ziemlich hinterhältig. Entropie wird in allen Reibungsprozessen erzeugt. Diese Entropie übernimmt dann als Träger die vom ersten Prozess freigesetzte Energie und führt sie ab. Weil die Entropie die von ihr getragene Energie nur los lässt, falls sie in ein noch kälteres Gebiet abfliesst, ist die in Reibungsprozessen freigesetzte Energie für uns verloren. Fachleute sprechen dann von Dissipation. Sie werden nun einwenden, dass die Entropie eine völlig unbekannte Grösse sei, von der Sie noch nie etwas gehört haben. Dabei ist die Entropie unter einem andern Namen äusserst populär. Entropie ist das, was jedes Kind unter dem Begriff Wärmemenge kennt:

Entropie (Wärme) macht die Milch heiss
Entropie (Wärme) lässt das Eis schmelzen
Entropie (Wärem) erhöht den Druck in den Autoreifen
Entropie (Wärme) entsteht durch Reibung

In Bundesland Baden-Württenberg wird die Entropie schon auf der Sekundarstufe I eingeführt. In etwa zehn bis zwanzig Jahren werden wir Schweizer vielleicht auch nachziehen.

Kontrollfragen

Wie berechnet man in der Hydrodynamik den zugeordneten Energiestrom?
In einer Ölleitung fliessen 200 l/min bei einem Druck von 35 bar. Wie stark ist der zugeordnete Energiestrom? Wie viel Energie wird in einer Minute durch die Leitung transportiert?
Mittels einer Hydraulikleitung soll ein Energiestrom von 25 kW bei einem Druck von 200 bar übertragen werden. Welchen Innendurchmesser muss das Rohr aufweisen, damit die mittlere Strömungsgeschwindigkeit nicht grösser als 5 m/s wird.
Am 17. August 2007 sind 500 m³ Wasser pro Sekunde über den Rheinfall geflossen. Welche Leistung hat der Rhein damals in seinem Fall (23 m Höhe) freigesetzt?
Ein Hydraulikmotor soll mit 15 kW betrieben werden. Im Antriebskreis fliessen 60 Liter Öl in der Minute. Wie gross muss die Druckdifferenz beim Hydraulikmotor sein?
Bei einem hydraulischen Antriebssystem ist der Volumenstrom und die Druckdifferenz in Funktion der Zeit gemessen worden. Wie können Sie mit Hilfe dieser beiden Angaben (Diagramme oder Datenfiles) die in einer gewissen Zeitspanne umgesetzte Energie berechnen?

Materialien

Skript Seite 2
Physik - Ein systemdynamischer Zugang für die Sekundarstufe II Seiten 34 - 35
eLearning Teilmodul Energie

Zurück zum Inhalt