Tensor

In der Physik ist der Begriff Tensor (lat. tensio = Spannung) erstmals im Zusammenhang mit der mechanischen Spannung in Festkörpern aufgetaucht. Um die mechanische Spannung, die Stromdichte des Impulses, zu beschreiben, reichen die Begriffe Skalar und Vektor nicht mehr aus. In der Mathematik wird der Tensor als geometrisches, unter Koordinatentransformationen invariantes Objekt definiert. Die Transformationsvorschrift legt die Stufe des Tensors fest. Ein Skalare ist ein Tensor 0. Stufe, ein Vektor ein Tensoren 1. Stufe und der Spannungstensor ein Tensor 2. Stufe.

Ein Tensor (2. Stufe) lässt sich bezüglich einer Basis als Matrix (mit reell oder komplexen Zahlen) darstellen. Die Stromdichte einer vektoriellen Menge oder der Gradient eines vektorwertigen Feldes transformieren sich wie ein Tensor. Ein Tensor kann mit Hilfe des Tensorproduktes aus zwei Vektoren gebildet werden.

Impulsstromdichte

Die Stromdichte einer skalaren Menge ist ein Vektor. So beschreibt z.B. die Strömungsgeschwindigkeit die Volumenstromdichte des Fluids. Die Stromdichte der Masse ist dann gleich Dichte mal Volumenstromdichte

[math]\vec j_m = \rho \vec j_V = \rho \vec v[/math]

oder mit der Einsteinnotation bezüglich eines Koordinatensystems

[math]j_{m_i} = \rho v_i[/math]

Überträgt man die Idee, wonach die Stromdichte als Dichte mal Volumenstromdichte geschrieben werden kann, auf den Impuls, erhält man die Beziehung

[math]j_{{pcon}_ij} = \rho_{p_i}v_j = \rho v_i v_j[/math]

Die Impulsstromdichte, die als Impulsdichte mal Strömungsgeschwindigkeit definiert werden kann, ist gleich der Massendichte mal das Tensorprodukt der Geschwindigkeit.

Nun kann der Impuls nicht nur durch Bewegung, also zusammen mit der Materie, sondern auch noch durch die Materie hindurch transportiert werden. Im ersten und oben schon behandelten Fall spricht man von einem konvektiven Transport, im zweiten von einem [[leitungsartiger Transport|leitungsartigen Transport. Der leitungsartige Impulstransport ist unter dem Namen Kraftfluss bekannt und wird mit Hilfe des Spannungstensors beschrieben. Der Spannungstensor entspricht bis auf das Vorzeichen und eine Transposition der Impulsstromdichte

[math]\sigma_{ji} = -j_{p_{ij}}[/math]

Die Transposition hat keine Wirkung, weil der Spannungstensor symmetrisch ist.