Atwoodsche Fallmaschine
Die atwoodsche Fallmaschine wurde 1784 von George Atwood erfunden. Sie wurde als Nachweis für die gleichmässig beschleunigten Bewegung konzipiert. Mit ihr kann man die Fallbeschleunigung beliebig verringern.
Idealisierung
Die Fallmaschine wird meist sehr stark idealisiert
- Seil und Rolle ohne Masse
- Seil beliebig biegsam
- keine Lagerreibung
- kein Luftwiderstand
Herleitung
Die Beschleunigung, mit welcher sich der leichter Klotz nach oben und der schwerere nach unten in Bewegung setzt, kann mit Hilfe der Energie- oder der Impulsbilanz berechnet werden
Impulsbilanz
Zuerst schneidet man die beiden Körper frei und wählt die positive Bezugsrichtung längs der zu erwartenden Bewegung. Dann lautet die Impulsbilanz zusammen mit dem kapazitiven Gesetz der Translationsmechanik (auch Grundgesetz der Mechanik genannt]
| Grundgesetz für den schweren Körper | [math]F_{G1}-F_1=m_1a_1[/math] |
| Grundgesetz für den leichteren Körper | [math]F_2-F_{G2}=m_2a_2[/math] |
| kinematische Verknüpfung | [math]a_1=a_2=a[/math] |
| ideale Rolle und Seil | [math]F_1=F_2[/math] |
| Kraftgesetz der Gravitation | [math]F_{G1}=m_1g[/math] und [math]F_{G2}=m_2g[/math] |
| Lösung | [math]a=g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}[/math] |
Die Lösung für die idealisierte Maschine lässt sich direkt erraten: die beiden Gewichtskräfte wirken gegeneinander und das Gesamtsystem besitzt eine Trägheit, die den beiden (trägen) Massen entspricht. Die strukturierte Vorgehensweise erscheint etwas umständlich, erlaubt aber einen beliebigen Ausbau des Problems
- Rolle mit Trägheit: Grundgesetz der Rotation für die Rolle hinzufügen
- zwei verschiedene Wickelradien: kinematische Verknüpfung anpassen, Kräfte über Hebelgesetz berechnen
- Reibung: Grundgesetz der Rotation um Lagerreibung erweitern, Grundgesetze der Körper mit Luftwiderstand ergänzen
Energiebilanz
Der Weg über die Energiebilanz (auch Leistungsbilanz) führt zum gleichen Ergebnis. Das System hat vier Energiespeicher (pro Körper je eine kinetische Energie und eine potentielle Energie). Ein Energieaustausch mit der Umgebung findet nicht statt. Folglich lautet die Energiebilanz
- [math]0=\dot W_{kin_1}+\dot W_{G1}+\dot W_{kin_2}+\dot W_{G2}[/math]
- [math]0=m_1v_1\dot v_1+m_1g\dot h_1+m_2v_2\dot v_2+m_2g\dot h_2[/math]
Die Geschwindigkeiten und die beiden Höhenänderungsraten dürfen unter Berücksichtigung des Vorzeichens gleich gesetzt werden
- [math]0=m_1v\dot v-m_1gv+m_2v\dot v+m_2gv[/math]
Nun kann die Geschwindigkeit ausgeklammert und weg gekürzt werden. Eine letzte Umformung liefert die bekannte Formel für die Atwoodsche Fallmaschine
- [math]\dot v=g\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}[/math]
Auch diese Vorgehensweise ist ausbaufähig: die Trägheit der Rolle führt zu einem fünften Speicher (rechte Seite); Reibungseffekte (Lager, Luftwiderstand) sind als Energieströme auf der linken Seite einzufügen.
Umlenkrolle
Die Trägheit der Rolle ist in der Regel nicht zu vernachlässigen. Dies erfordert folgende Modifikationen
| Grundgesetz der Rotation | [math]F_1R-F_2R=J\alpha[/math] |
| kinematische Verknüpfung | [math]a_1=a_2=a=\alpha R[/math] |
R steht für den Radius der Rolle und J für das Massenträgheitsmoment Die Lösung des neuen Gleichungssystems liefert eine etwas kleinere Beschleunigung
- [math]a=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2+\frac{J}{R^2}}[/math]
Der Weg über die Energiebilanz erfordert analoge Ergänzungen und liefert das gleiche Resultat.
Video
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