Lösung zu Aviatik 2014/2

Aufgabe 1

Flüssigkeitsbild besteht aus zwei Töpfen mit den Massenträgheitsmomenten als Querschnitt und der Winkelgeschwindigkeit als Füllhöhe. Aus dem Flüssigkeitsbild kann die Formel für Endwinkelgeschwindigkeit direkt heraus gelesen werden [math]\omega_{end}=\frac{J_1\omega_1+J_2\omega_2}{J_1+J_2}[/math] = 9.16 rad/s
Auch diese Formel ist direkt dem Flüssigkeitsbild zu entnehmen: freigesetzte Energie gleich Menge mal mittlere Fallhöhe, also [math]W=\Delta L\Delta\omega_{mittel}[/math] = 5.14 kJ
Die Stromstärke ist Menge dividiert durch benötigte Zeit, also [math]I_L=\frac{\Delta L}{\Delta t}[/math] =19.6 Nm. Die maximale Prozessleistung ist gleich maximale Diffferenz der Winkelgeschwindigkeit mal Stärke des durchfliessenden Drehimpulsstromes, also [math]P=\Delta\omega I_L[/math] = 514 W
Der abfliessende Drehimpulsstrom entstammt beiden Schwungrädern. Zwischen den Schwungrädern fliessen 12 Nm. Folglich gehen insgesamt 16 Nm an die Erde weg. In Formeln geschrieben [math]I_{L2}=I_{L_{Kupplung}}\frac{J_1+J_2}{J_1}[/math] = 16 Nm

Die unterste Linie bewegt sich mit [math]v_{Mantel}=v_{Achse}-\omega r[/math] = -5 m/s
Gewichtskraft, Normalkraft, Gleitreibungskraft (in Bewegungsrichtung der Achse)
Den beiden Flüssigkeitsbildern für Impuls und Drehimpuls ist zu entnehmen [math]\frac{F_R r}{F_R}=\frac{J|\Delta\omega|}{m\Delta v}[/math] als [math]\Delta v=\frac{J}{mr}|\Delta\omega|[/math] = 1.5 m/s und somit [math]v_{end}=v_{anfang}+\Delta v[/math] = 5.5 m/s
[math]W_{diss}=\Delta L\omega_{mittel}-\Delta p v_{mittel}[/math] = 225 J - 142.5 J = 82.5 J

Bezeichnungen

Temperatur kaltes Wärmebad T₁ = 280 K
Temperatur heisses Wärmebad T₂ = 500 K
Temperaturen Wärmepumpe T_WP , Eingang = 270 K, Ausgang = 520 K, Differenz 250 K
Temperaturen Wärmekraftmaschine T_WKM , Eingang = 480 K, Ausgang = 290 K, Differenz 190 K

[math]I_S=\frac{P}{\Delta T_{WP}}[/math] = 32 W/K sowie [math]S_{WP}=\frac{W_{WP}}{\Delta T_{WP}}[/math] = 115 kJ/K
[math]W_{kalt}=T_{WPEingang}S_{WP}[/math] = 31.1 MJ sowie [math]W_{heiss}=T_{WPAusgang}S_{WP}[/math] = 59.9 MJ
[math]S_{erz}=\frac{W_{heiss}}{T_2}+\frac{W_{kalt}}{T_1}=S_{WP}\left(\frac{T_{WPAusgang}S_{WP}}{T_2}-\frac{T_{WPEingang}S_{WP}}{T_1}\right)[/math] = 8.72 kJ7K
[math]\eta=\frac{W_{WKM}}{W_{P}}=\frac{\Delta T_{WKM}S_{WKM}}{\Delta T_{WP}S_{WP}}=\frac{\Delta T_{WKM}\frac{W_{heiss}}{T_{WKMEingang}}}{\Delta T_{WP}\frac{W_{heiss}}{T_{WPAusgang}}}=\frac{\Delta T_{WKM}T_{WPAusgang}}{\Delta T_{WP}T_{WKMEingang}}[/math] = 0.823

Die Stoffmenge kann bei einem beliebigen Zustand berechnet werden [math]n=\frac{p_1V_1}{RT_1}[/math] = 80.2 mol.

Die Expansions- oder Kompressionsarbeit kann entweder aus dem Diagramm heraus gelesen oder berechnet werden [math]W_{12}=-\int_{V_1}^{V2}pdV=-\int_{V_1}^{V2}\frac{nRT}{V}dV=nRT_{12}\ln\frac{V_1}{V_2}=p_1V_1\ln\frac{V_1}{V_2}[/math] = -852 kJ; [math]W_{34}=nRT_{34}\ln\frac{V_3}{V_4}[/math] =398 kJ; [math]\Delta W=nR\Delta T\ln\frac{V_1}{V_2}[/math] = 455 kJ
[math]S_{12}=nR\ln\frac{V_1}{V_2}=-nR\ln\frac{V_3}{V_4}=-S_{34}[/math] = 1.14 kJ/K. Multipliziert man die Entropie mit der entsprechenden Temperatur, erhält man die Wärmeenergie und weil sich die innere Energie bei isothermer Kompression nicht ändert, die Expansions- oder Kompressionsarbeit.
[math]\Delta S=n\hat c_V\ln\frac{T_{34}}{T_{12}}[/math] = 1.27 kJ/K; [math]\Delta W=n\hat c_V\left(T_{34}-T_{12}\right)[/math] = 667 kJ
siehe Stirling-Kreisprozess; S₄ = 0; S₁ = 1.27 kJ/K; S₂ = 2.41 kJ/K; S₁ = 1.14 kJ/K

[math]C_{Kugel}=mc[/math] = 245 kJ/°C

[math]\vartheta_m=\frac{C_{Kal}\vartheta_{Kal}+C_{Kugel}\vartheta_{Kugel}}{C_{Kal}+C_{Kugel}}[/math] = 22.3°C
[math]\S_{Prod}=C_{Kugel}\ln\frac{T_m}{T_{Kugel}}+C_{Kal}\ln\frac{T_m}{T_{Kal}}[/math] = 231.01 J/K - 219.96 J/K = 11.06 J/K
[math]\tau=\frac{C}{G_W}=\frac{\frac{C_{Kugel}C_{Kal}}{C_{Kugel}+C_{Kal}}}{G_W}[/math] = 11.3 s
Aus [math]\Delta T=\Delta T_0e^{-t/\tau}[/math] folgt [math]t=\tau\ln\frac{\Delta T_0}{\Delta T}=11.3 s\ln\frac{27.7°C}{7.74°C}[/math] = 14.4 s