Widerstand und Auftrieb

Fliegende Körper tauschen mit dem Gravitationsfeld und der umgebenden Luft Impuls aus. Die Stärke des quellenartigen Impulsaustausches mit dem Gravitationsfeld nennt man Gewichtskraft. Der Impulsaustausch mit der Luft wird in verschiedene Kräfte aufgespalten:

statischer Auftrieb
dynamischer Auftrieb
Widerstand (schädlicher und induzierter Widerstand)
Schub

Luftschiffe und Ballone führen den gravitativ zufliessenden z-Impuls über ihre Oberfläche als statischen Auftrieb an die umgebende Luft ab. Bei Objekten, die spezifisch viel schwerer sind als die Luft, wird dieser Auftrieb vernachlässigt bzw. direkt mit der Gewichtskraft verrechnet. Nachfolgend suchen wir nur eine brauchbare Beschreibung der einwirkenden Kräfte und fragen nicht, wieso ein Flugzeug überhaupt fliegt.

Lernziele

Strömungswiderstand

Potenzialströmung

Ein Körper, der reibungsfrei von einer Potenzialströmung umflossen wird, erfährt keine Strömungskraft (d'Alembertsches Paradoxon). Begründet wird dieses Paradoxon mit der Symmetrie der Strömung. Wohl staut sich das Fluid (Flüssigkeit oder Gas) an der Vorderseite des Körpers (vorderer Staupunkt), doch entsteht auf der Rückseite des umströmten Körpers ein zweiter Punkt, in dem die Strömungsgeschwindigkeit ebenfalls gleich Null ist (hinterer Staupunkt). Das d'Alembertsche Paradoxon besagt demnach, dass der Strömungswiderstand (totale Impulsstromstärke bezüglich der Körperoberfläche) verschwindet, solange dieser von einer Potenzialströmung umflossen wird.

laminare und turbulente Strömung

Ein reales Fluid wirkt infolge der eigenen Zähigkeit (Viskosität) mit Scherkräften (querfliessende Impulsströme) auf den umströmten Körper ein. Bei Newtonschen Flüssigkeiten nimmt der durch die Zähigkeit verursachte Impulsaustausch zwischen Fluid und Körper linear mit der Anströmungsgeschwindigkeit zu. Überschreitet die Scherbelastung in der Flüssigkeit eine gewisse Grenze, lösen sich erste Grenzschichten ab. Die sich vom Körper ablösenden Grenzschichten bilden hinter dem Körper eine turbulente Wirbelstrasse. Der Unterdruck im Gebiet der Wirbelstrasse ist die eigentliche Ursache für den Strömungswiderstand bei turbulenter Umströmung.

einfaches Modell

Modell zur Bestimmung des Strömungswiderstandes

Die Grösse des Strömungswiderstandes bei turbulenter Umströmung kann mit Hilfe eines einfachen Modells abgeschätzt werden. Dazu stellen wir uns eine starre Scheibe (Fläche A) vor, die normal zur Anströmung stehend mit der Geschwindigkeit v gegen das Fluid bewegt wird. Vereinfachend machen wir folgende Annahmen

die sich einstellende Strömung ist eine Superposition aus Potenzialströmun und scharf berandeter Wirbelstrasse
der Querschnitt der turbulenten Wirbelstrasse ist gleich A
der Mittelwert über das Quadrat der Strömungsgeschwindigkeiten in der Wirbelstrasse ist unmittelbar hinter der Scheibe gleich v²

Zieht man nun diese Scheibe durch ein ruhendes Fluid, kann eine Leistungsbilanz aufgestellt werden. Die Leistung der Zugkraft (Kraft mal Geschwindigkeit) ist gleich der Änderungsrate der kinetischen Energie der Luft (Dichte der kinetischen Energie mal Änderungsrate des Volumens der Wirbelstrasse)

[math]P(F)=vF=\dot W_{kin}=\varrho_{W{kin}}\dot V=\frac{1}{2}\rho v^2 A v[/math]

Bei gleichförmiger Bewegung der Scheibe ist die Zugkraft gleich dem gesuchten Strömungswiderstand. Also gilt

[math]F_W=\frac{1}{2}\rho v^2 A[/math]

reales Modell

Der Querschnitt der Wirbelstrassse hängt von vielen Faktoren wie Form des umströmten Körpers oder Rauhigkeit und Elastizität der Oberfläche ab. Zudem dürfte die Annahme, dass die Dichte der kinetischen Energie in der Wirbelstrasse im Mittel gleicht halbe Massendichte des Fluids mal das Quadrat der Anströmungsgeschwindigkeit ist, kaum zutreffen. Die dem einfachen Modell zugrunde liegende Annahme, dass der Strömungswiderstand proportional zur Dichte der kinetischen Energie der Antströmung und zum Querschnitt des umströmten Körpers zunimmt, ist durch Experimente vielfach bestätigt worden. Die verbleibende Unstimmigkeit wird nun in eine Zahl verpackt, die das Verhältnis zwischen Messung und einfachem Modell beschreibt. Diese Verhältniszahl nennt man Widerstandsbeiwert.

Der Strömungswiderstand lässt sich somit als Produkt aus Dichte der kinetischen Energie des anströmenden Fluids mal die um den Widerstandsbeiwert korrigierte Querschnittsfläche schreiben

[math]F_W=\varrho_{W_{kin}}A_{korr}=\frac{1}{2}\varrho v^2 c_W A[/math]

statischer Auftrieb

Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Diesen Zusammenhang, der von Archimedes erstmals formuliert worden ist, kennt wohl jedes Kind. Doch wie kann eine Flüssigkeit, die verdrängt worden ist, noch eine Wirkung entfalten? Betrachten wir dazu einen Teich, auf dessen Grund ein Felsbrocken liegt. Würde man den Felsbrocken hoch heben, wäre die Hubkraft gleich der Gewichtskraft minus den Auftrieb.

In der Vorlesung zur Hydrodynamik haben Sie den Druck als Energiebeladung des Volumenstroms kennen gelernt. Aus der Sicht der Translationsmechanik ist der Druck in ruhenden Gasen und Flüssigkeiten eine dreifache Impulsstromdichte. Der Druck besagt, wie viel x-, y- bzw. z-Impuls pro Zeit und pro Fläche in x-, y- bzw. z-Richtung transportiert wird. Befindet sich eine unter Druck stehende Flüssigkeit in einem Gefäss, fliesst jede Impulskomponente in der Flüssigkeit in ihre eigene Bezugsrichtung und muss dann von den Gefässwänden wieder zurück transportiert werden. Deshalb stehen Gefässwände immer unter Zugspannung. Nun führt das Gravitationsfeld der Flüssigkeit zusätzlich z-Impuls zu (Quellendichte ρ g). Weil die Flüssigkeit diesen Impuls nur vorwärts transportieren kann, nimmt die Impulsstromdichte infolge Zunahme der Quellen proportional mit der Eintauchtiefe zu

[math]p=p_0+\varrho g z[/math]

Um die Grösse der Auftriebskraft zu bestimmen, greifen wir einen beliebigen Teil des Wassers im Teich heraus. Die Stärke der Impulsquelle heisst Gewichtskraft, die resultierende Druckkraft auf den ausgewählten Teil des Wasser nennt man Auftrieb. Weil der ausgewählte Körper natürlicherweise im Gleichgewicht ist, muss der Auftrieb gleich der Gewichtskraft sein. Ersetzt man nun das im ausgewählten Gebiet enthaltene Wasser durch einen gleich geformten Körper, ändert sich in der Regel das Gewicht. Die Druckverteilung an der Oberfläche und damit der Auftrieb bleibt dagegen gleich. Damit ist gezeigt, dass der Auftrieb gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit ist.

Will man den Auftrieb direkt berechnen, muss man über die Druckverteilung an der Oberfläche des Körpers aufsummieren. Dazu betrachten wir die Wirkung des Drucks auf ein kleines, ebenes Flächenstück. Zeigt die Flächennormale in x-Richtung wirkt eine in x-Richtung weisende Kraft auf das Flächenstück ein. Die Grösse dieser Kraft ist gleich Druck mal Fläche (Impulsstromstärke gleich Impulsstromdichte mal normal dazu stehende Fläche). Weitet man diese Betrachtung auf alle drei Impulskomponenten aus, erhält man die Kraft auf das Flächenstück

[math]\vec F=\begin{pmatrix} F_x\\F_y\\F_y\end{pmatrix}=p\begin{pmatrix} A_x\\A_y\\A_y\end{pmatrix}=p\vec A[/math]

Der Vektor A heisst Flächennormalvektor. Der Flächennormalvektor steht normal auf der Fläche und sein Betrag entspricht der Grösse der Fläche. Um die gesamte Druckkraft zu berechnen, muss die Oberfläche des Körpers in beliebig kleine Stücke der Grösse dA zerlegt werden. Danach berechnet man die Kraft auf jedes Stück und summiert über alle Stücke auf

[math]\vec F_D=\int p\vec{dA}[/math]

Die Oberfläche muss nach innen orientiert sein, damit das Integral der Auftriebskraft auf den Körper (Stärke des Impulsstromes bezüglich des Körpers) entspricht. Diese direkte Methode funktioniert in guter Näherung auch bei der Berechnung des dynamischen Auftriebs. Sind Körper und Flüssigkeit in Ruhe, kann der Druck durch die oben hergeleitete hydrostatische Formel ersetzt werden

[math]\vec F_A=\int (p_0+\varrho g z)\vec{dA}=-\varrho g V\frac{\vec z}{z}[/math]

Die zweite Umformung ist für einen prismatischen Körper trivial, im allgemeinen Fall aber nur unter Verwendung eines Satzes von Gauss sauber durchzuführen. Wem diese Herleitung zu mathematisch ist, halte sich an die weiter oben gegebene Begründung mit dem ausgegrenzten Wasserkörper.

dynamischer Auftrieb

Ein Flugzeug fliegt, weil es den gravitativ zufliessenden z-Impuls an die umgebende Luft abführen kann. Schneidet man die Triebwerke weg, erhält man an den Schnittflächen die Schubkräfte. Die Frage, wie die Triebwerke Impuls mit der Luft austauschen können, wird im Teil Impulsbilanz bei offenen Systemen beantwortet. Was für den statischen Auftrieb gilt, trifft auch auf den restlichen Teil der Flugzeughülle ziemlich gut zu: die Kraft der umgebenden Luft auf das Flugzeug ist gleich dem Integral über die Druckverteilung an der Flugzeugoberfläche

[math]\vec F_{Luft}=\int p\vec{dA}[/math]

In dieser Betrachtung fehlen die durch die vorbei strömende Luft verursachte Scherspannung (Dichte der querfliessenden Impulsströme). Die Wirkung dieses Teils des Impulsaustausches ist verglichen mit der Luftkraft zu vernachlässigen. Nun kann man zeigen, dass sich diese Luftkraft wie der weiter oben diskutierte Luftwiderstand verhält, aber infolge Bauweise und Stellung der Flügel eine Komponente normal zur Anströmung aufweist. Zerlegt man diese Kraft bezüglich der Anströmung, erhält man den Widerstand (parallel zur Anströmung) und den dynamischen Auftrieb (normal zur Anströmung)

[math]\vec F_{Luft}=\begin{pmatrix} F_A \\ F_W \end{pmatrix}=\frac{\varrho}{2}v^2\begin{pmatrix} c_A \\ c_W \end{pmatrix}A[/math]

Als Fläche A nimmt man eine zu definierende Referenzfläche (Tragflügelfläche). Der Auftriebsbeiwert c_A und der Widerstandsbeiwert c_W enthalten die wesentliche Information zu den beiden Komponenten der Luftkraft. Da beide Beiwerte vom Anstellwinkel abhängen, muss die Lage des Flugzeuges gegen die Anströmung bekannt sein. Zur Veranschaulichung kann man die Beiwerte in Funkton des Anstellwinkels auftragen oder beide Beiwerte als Polardiagramm gegeneinander stellen. Der Anstellwinkel erscheint dann als Parameter auf der Kurve.

Flugdynamik

Nachfolgend ein paar Bemerkungen zur Ärodynamik des Flugzeuges im Unterschallbereich (subsonic flow regime). Sobald sich die Fluggeschwindigkeit der Schallgeschwindigkeit nährert, ändern sich die Strömungsverhältnisse grundlegend. Bei den nachfolgenden Überlegungen gehen wir immer von einer Gleichgewichtssituation aus(Translation und Rotation). Im Gleichgewicht ist die Summe über alle Kräfte (Summe über die Stärken der Impulsströme und Impulsquellen) sowie die Summe über alle Drehmomente (Summe über die Stärken aller Drehimpulsströme und Drehimpulsquellen)immer gleich Null. Nichtgleichgewichtszustände werden wir erst im nächsten Semester im Rahmen einer grösseren Modellbildungs- und Simulationsübung untersuchen. Die Bewegung des Flugzeuges gegen die umgebende Luft (TAS true air speed) bzw. die Anströmung der Luft gegen das Flugzeug bezeichnen wir als Geschwindigkeit.

Segelflug

Auf ein Segelflugzeug wirken nur das Gravitationsfeld und die umströmende Luft ein. Die Wirkung der umströmenden Luft kann bezüglich der Anströmung in einen Auftrieb (normal zur Anströmung) und einen Widerstand (parallel zur Anströmung) zerlegt werden. Weil die Gewichtskraft und die Gesamtkraft der Luft das Flugzeug im Gleichgewicht halten, gilt

[math]F_G\cos(\beta)=F_A=\frac{\varrho}{2}v^2c_A A[/math]

[math]F_G\sin(\beta)=F_W=\frac{\varrho}{2}v^2c_W A[/math]

Dividiert man die zweite Gleichungen durch die erste erhält man folgende Beziehung

[math]\frac{F_G\sin(\beta)}{F_G\cos(\beta)}=\tan(\beta)=\frac{F_W}{F_A}=\frac{c_W}{c_A}[/math]

Im Polardiagramm misst man den Gleitwinkel β als Winkel zwischen der Ordinate und der Verbindungslinie vom Koordinatenursprung zum aktuellen Punkt auf der Polaren. Die Tangente an die Polare liefert deshalb den kleinstmöglichen Gleitwinkel. Die zum gleichförmigen Gleiten notwendige Geschwindigkeit ergibt sich aus oben formulierten Gleichgewichtsbedingung.

Reiseflug

Im horizontalen Reiseflug ist der Gleitwinkel β gleich Null. Der Auftrieb sollte dann das Gewicht und der Schub den Widerstand kompensieren. Falls die Triebwerke dementsprechend ausgerichtet sind, gilt

[math]F_S=F_W=\frac{\varrho}{2}v^2c_W A=\frac{c_W}{c_A}F_G[/math]

Kontrollfragen

Wie

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