Dynamische Systeme 1. Ordnung

Problemstellung

Ein mit Wasser gefülltes Gefäss hängt an einem Kraftmessgerät. Nachdem man den Stöpsel im Boden heraus gezogen hat, leert sich das Gefäss über einen dünnen Wasserstrahl, der nach unten weg geht. Über die Kraftmessung können wir das Masse-Zeit-Verhalten beobachten. Wann ist das Gefäss noch halb voll? Wann ist es leer? Gibt es eine Füllstand-Zeit-Funktion für dieses Problem? Sie haben dieses Problem ist der ersten Woche des ersten Semesters mit Hilfe eines systemdynamischen Tools modelliert und simuliert. Nun wollen wird dieses System und eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen mathematisch behandeln.

Wir stellen dazu ein zylinderförmiges Gefäss, aus dem in bodennähe ein Röhrchen horizontal weg führt, auf eine Waage. Das Gefäss entlehrt also seinen Inhalt über ein längeres Röhrchen statt über ein kleines Loch. Damit haben wir ein klare Trennung von Speicher und Leiter. Das Verhalten des Speichers kann mit Hilfe der Kapazität beschrieben werden

[math]\Delta V=C_V\Delta p[/math]

wobei für zylinderförmige Gefässe gilt

[math]C_V=\frac{A}{\varrho g}[/math]

Die Druckdifferenz über dem Röhrchen treibt den Volumenstrom. Falls die Flüssigkeit zäh genug ist und der Durchmesser des Röhrchens nicht zu gross, bleibt die Strömung laminar, d.h. Volumenstromstärke und Druckdifferenz sind proportional zueinander

[math]\Delta p = R_VI_V[/math]

Der laminare Strömungswiderstand kann mit Hilfe des Gesetzes von Hagen-Poiseuille berechnet werden. Beachten Sie, dass [math]\Delta p[/math] in den beiden Formeln eine unterschiedliche Bedeutung hat: im Kapazitivgesetz wird die Druckdifferenz zwischen zwei den Füllzuständen zu verschiedenen Zeitpunkten gebildet, im Widerstandsgesetz ist die Druckdifferenz über dem Rohr zum gleichen Zeitpunkt einzusetzen. Die erste Druckdifferenz wird demnach über eine Zeitspanne, die zweite über einer Länge gebildet.

Leiter

Lineare Widerstandsgesetze findet man in verschiedenen Gebieten der Physik

Gebiet	Menge	Potential	Gesetz	Beispiel
Hydrodynamik	Volumen	Druck	[math]\Delta p=R_VI_V[/math]	laminare Strömung
Elektrodynamik	elektrische Ladung	Spannung	[math]U=RI[/math]	Widerstandselement
Translationsmechanik	Impuls	Geschwindigkeit	[math]\Delta v_x=R_{px}F_x[/math]	linearer Dämpfer
Rotationsmechanik	Drehimpuls	Winkelgeschwindigkeit	[math]\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x[/math]	Wirbelstrombremse
Thermodynamik	Energie	Temperatur	[math]\Delta T=R_WI_W[/math]	Wärmeleitung

In den ersten vier Beispielen fliesst ein Mengenstrom über eine Potentialdifferenz (Wasserfallbild). Dabei wird Energie frei gesetzt und Entropie erzeugt. Weil bei der Wärmeleitung Entropie hinunter fliesst und gleichzeitig Entropie erzeugt wird, nimmt man meist die Wärmeenergie als erhaltene mengenartige Grösse.

Speicher

Speicher mit konstanter Kapazität findet man in den folgenden fünf Gebieten der Physik

Gebiet	Menge	Potential	Gesetz	Beispiel
Hydrodynamik	Volumen	Druck	[math]C_V\Delta p=\Delta V[/math]	zylinderförmiger Behälter
Elektrodynamik	elektrische Ladung	Spannung	[math]CU=Q[/math]	Kondensator
Translationsmechanik	Impuls	Geschwindigkeit	[math]mv_x=p_x[/math]	Hammer
Rotationsmechanik	Drehimpuls	Winkelgeschwindigkeit	[math]J\omega_x=L_x[/math]	Schwungrad
Thermodynamik	Energie	Temperatur	[math]C_p\Delta T=\Delta H[/math]	Wärmespeicher

Die Masse eines Körpers bildet die Impulskapazität für alle drei Impulskomponenten. Rotierende Körper besitzen mindestens drei Hauptachsen mit drei verschiedenen Massenträgheitsmomenten. Nimmt man in der Thermodynamik die Energie als Bilanzgrösse, heisst die eigentliche Speichergrösse Enthalpie. Die Enthalpiekapazität oder Wärmekapazität bei konstantem Druck ist bei vielen Körpern über grössere Temperaturbereiche nahezu konstant.

RC-Glied

Taucht man in das Gefäss mit dem horizontalen Abflussrohr ein, steigt der Druck mit der Eintauchtiefe.

[math]\Delta p=\varrho gh[/math]

Folgt man dann der durch das horizontale Rohr werströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrosatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross

[math]\Delta p_C+\Delta p_R=0\[/math]

Setzt man nun die konstitutiven Gesetze (kapazitives und resistives) in die Druckgleichung ein, erhält man

[math]\frac{V}{C_V}+R_VI_V=0[/math]

Ersetzt man nun noch die Stromstärke mit Hilfe der Bilanzgleichung durch die Änderungsrate des Volumens,

[math]I_V=\dot V[/math]

erhält man eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

[math]\frac{V}{C_V}+R_V\dot V=0[/math] oder [math]\frac{V}{C_VR_V}+\dot V=0[/math]

Die folgende Funktion erfüllt diese Differentialgleichung (bitte selber mal einsetzen),

[math]V=V_0e^{-t/\tau}[/math]

wenn für die Zeitkonstante τ gilt

[math]\tau =R_VC_V[/math]

Für die Füllhöhe dividiert man das Volumen durch den Querschnitt. Den Druck am Boden des Gefässes in Funktion erhält man durch Multiplikation der Füllhöhe mit Dichte und Gravitationsfeldstärke oder durch Division des Volumens mit der Kapazität. Für die Umrechnung auf das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten benutzt man das Widerstandsgesetz oder leitet die Volumen-Zeit-Funktion nach der Zeit ab

[math]I_V=-I_{V0}e^{-t/\tau}[/math] mit [math]I_{V0}=\frac{\Delta p_0}{R_V}[/math]

Legt man umgekehrt bei einem leeren Gefäss mit horizontalem Röhrchen einen konstanten Druck an, füllt sich das Gefäss bis zum Gleichgewichtszustand. Die zugehörige Druckgleichung lautet

[math]\Delta p_C+\Delta p_R=\Delta p_{aussen}\[/math]

und Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend

[math]V=V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)[/math] mit [math]V_0=C_V\Delta p_{aussen}=\frac{A\Delta p_{aussen}}{\varrho g}[/math]

Durch Ableiten nach der Zeit erhält man das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten. Das Druck-Zeit-Verhalten berechnet man Wahlweise aus dem Volumen mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes oder aus der Stromstärke mit Hilfe des resistiven Gesetzes.

Induktivität

Induktive Glieder findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik und der Mechanik

Antworten zu den Kontrollfragen

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014