Drehimpuls

Der Drehimpuls ist die bilanzierfähige Primärgrösse der Rotationsmechanik. Die Physik des 20. Jahrhunderts hat gezeigt, dass der Drehimpuls genau so grundlegend ist wie etwa die elektrische Ladung oder die Masse. Der Drehimpuls spaltet bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems (Weltsystem) in drei Komponenten auf. Jede dieser drei Komponenten darf als eigenständige Menge bilanziert werden. Die drei Komponenten transformieren sich im Raum wie ein Vektor. Der Drehimpuls wird in Newtonmetersekunde (Nms; 1 Nms = 1 kgm²/s) gemessen. Als Formelzeichen verwenden wir L oder (L_x, L_y, L_z).

Drehimpulsspeicher

Jeder rotierende Körper speichert Drehimpuls. Um einen Körper in Rotation zu versetzen, muss man ihm Drehimpuls zuführen. Damit er still steht, muss er diesen Drehimpuls wieder abgeben können. Im Alltag erfolgt der Drehimpulsaustausch meistens mit der Erde, die infolge ihrer enormen Kapazität auf diesen Austausch nicht messbar reagiert.

eindimensional

Untersucht man Bewegungen in der Ebene oder längs einer Achse, tritt nur eine Komponente des Drehimpulses in Erscheinung. Den im Körper gespeicherten Drehimpuls bezeichnet man oft als Drall. Im Gegensatz zur Masse und analog zur elektrischen Ladung oder zum Impuls kann der Drehimpulsinhalt eines Körpers kleiner als Null werden. Ein Körper, der sich in negative Richtung dreht (ω<0), besitzt eine Schuld, die nur durch Zufuhr von Drehimpuls ausgeglichen werden kann. Speichervorgänge, bei denen nur eine Komponente beteiligt ist, lassen sich bestens im Flüssigkeitsbild darstellen und analysieren.

Der Zusammenhang zwischen Drehimpulsinhalt und Winkelgeschwindigkeit wird durch das kapazitive Gesetz der Rotationsmechanik vermittelt, wonach die Winkelgeschwindigkeit gleich dem Quotienten aus Drehimpuls und Massenträgheitsmoment J ist

[math]\omega = \frac {L}{J}[/math] oder [math]L = J \omega[/math]

Ein rotierender Körper kann seine Winkelgeschwindigkeit ohne Drehimpulsaustausch verkleinern oder vergrössern. Dazu muss er nur seine Massenverteilung ändern (siehe Katze oder Pirouette).

dreidimensional

Anders als beim Impuls kann beim Drehimpuls das kapazitive Gesetz nicht mit Hilfe eines Skalars dargestellt werden. Das Massenträgheitsmoment, das den kapazitiven Zusammenhang zwischen Drehimpulsinhalt und Winkelgeschwindigkeit beschreibt, transformiert sich im Raum wie ein Tensor. Bei gegebener Massenverteilung hängt der Drehimpuls demnach wie folgt mit der Winkelgeschwindigkeit zusammen (Einsteinnotation)

[math]L_j = J_{ij} \omega_i[/math]

Dieser lineare, aber nicht skalare Zusammenhang hat zur Folge, dass sich Winkelgeschwindigkeit auch bei starrer Massenverteilung und bei festem Drehimpulsinhalt andauern ändern kann. Man sagt dann, dass der Körper nutiert.

zusammengesetzte Körper

Besteht ein System aus mehreren Körpern (starr oder verformbar), kann jedes dieser Teilsysteme sowohl Eigendrehimpuls als auch Bahndrehimpuls speichern. Der Eigendrehimpuls berechnet sich nach dem oben gegebenen Zusammenhang aus Massenträgheitsmoment (Tensor) und Winkelgeschwindigkeit (Vektor). Der Bahndrehimpuls ist gleich dem Kreuzprodukt aus einem Distanzvektor und dem Impulsinhalt des Teilsystems

[math]\vec L_B = \vec r \times \vec p[/math]

wobei der Distanzvektor r vom Massenmittelpunkt des Gesamtsystems zu dem des Einzelsystems zeigt.

Drehimpulsströme

Drehimpulsströme hinterlassen keine direkten Spuren. Ein Drehimpulsstrom wird aber immer von begleitenden Impulsströmen begrenzt. Zudem können die Belastungen, die ein Drehimpulsstrom erzeugt, mit einfachen Worten beschrieben werden: fliesst eine Komponente des Drehimpulses in seine eigene Bezugsrichtung durch den Körper, wird dieser verdreht, also auf Torsion belastet; fliesst die Drehimpulskomponenten quer zur Bezugsrichtung durch ein Bauteil, wird dieses geboben, also auf Biegung belastet.

Wie beim Impuls treten neben mehr oder weniger lokalisierbaren Strömen auch Quellen auf. So bilden Impulsströme, die quer zur eigenen Bezugsrichtung fliessen, gemäss des Hebelgesetzes Drehimpulsquellen aus. Analog zu den Impulsströmen und Impulsquellen, deren stärken Kräfte heissen, nennt man sowohl die Stärke eines Drehimpulsstromes bezüglich eines ausgewählten Systems als auch die Quellenstärke Drehmoment.

Drehimpulsbilanz

Die Drehimpulsbilanz verknüpft die Drehimpulsströme und die Drehimpulsquellen mit der Inhaltsänderung. Weil der Drehmpuls unter allen Umständen erhalten bleibt, gibt es keine Drehimpulsproduktionsrate. Rein formal und in Komponenten geschrieben lautet die Drehimpulsbilanz

[math]\sum_i I_{Lxi} + \sum_j \Sigma_{Lxj} = \dot L_x[/math]

[math]\sum_i I_{Lyi} + \sum_j \Sigma_{Lyj} = \dot L_y[/math]

[math]\sum_i I_{Lzi} + \sum_j \Sigma_{Lzj} = \dot L_z[/math]

oder in konventioneller Schreibweise

[math]\sum_i \vec M_{i} + \sum_j \vec s_j \times \vec F_j = \dot {\vec L}[/math]

Relativitätstheorie

Bezüglich der Raum-Zeit bildet der Drehimpuls den räumlichen Teil des Drehimpulstensors.

Quantenmechanik

Der Drehimpuls eines Körpers ist quantisiert und gleich dem Vielfachen des Drehimpulsquantums. Teilchen, deren Eigendrehimpuls oder Spin gleich dem ganzzahligen Vielfachen (0, 1, 2) des Drehimpulsquantums ist, nennt man Bosonen; Teilchen, deren Eigendrehimpuls oder Spin gleich dem halbzahligen Vielfachen (1/2, 3/2, 5/2) ist, heissen Fermionen. Fermionen bilden die Materie und Bosonen die "Kraft"felder.

Links

• Vortrag zu Drehimpulsströmen
• Eigen- und Bahndrehimpuls auf Youtube