Massenmittelpunkt, Kinematik

Mechanik basiert auf der Impuls- und der Drehimpulsbilanz. Mechanik ist aber auch Bewegungslehre (Kinematik). Nun hängt die Bewegung über die Geschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit mit den Bilanzgleichungen zusammen, sind doch Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit die Potenziale des Impulses und des Drehimpulses (Füllhöhen in den zugehörigen Flüssigkeitsbildn und Energiebeladungsmass).

In dieser Vorlesung werden Verbindungen zwischen der Kinematik und der Dynamik aufgezeigt. Wir beschränken uns dabei auf die Aspekte, die für technische Anwendungen von grosser Bedeutung sind, weil eine umfassende Darstellung den Rahmen dieser Vorlesung sprengen würde.

Massenmittelpunkt

Impulsausgleich im inelastischen Stoss

Auf einer genügend langen Luftkissenbahn bewegen sich verschieden schwere Gleiter mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aufeinander zu. Weil die Gleiter mit Klettverschlüssen ausgerüstet sind, gleichen sich ihre Geschwindigkeiten an. Die gemeinsame Endgeschwindigkeit aller Gleiter lässt sich ohne Kenntnis der Aufpralldynamik vorhersagen

[math]v_e=\frac{\sum_i p_i}{\sum_i m_i}=\frac{p_{tot}}{m_{tot}}[/math]

Im Flüssigkeitsbild besagt diese Formel, dass die sich einstellende Füllhöhe gleich dem gespeicherten "Volumen" (Impuls) dividiert durch den totalen Querschnitt (totale Masse) aller miteinander verbundenen Gefässe (Gleiter) ist. Weil die Endgeschwindigkeit zum vornherein fest steht, postuliert man für jedes isolierte System eine charakteristische Geschwindigkeit, die gleich dem Quotienten aus gespeichertem Impuls und totaler Masse. Diese Idee lässt sich problemlos auf alle Richtungen ausdehnen

[math]\vec v_{MMP}=\frac{\sum_i \vec p_i}{\sum_i m_i}=\frac{\vec p_{tot}}{m_{tot}}[/math]

Die sich einstellende Endgeschwindigkeit heisst Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes (MMP) oder manchmal etwas ungenau Geschwindigkeit des Schwerpunktes. Dieser Name ist geometrisch zu begründen. Ersetzt man den Impuls der Teilsysteme durch das kapazitives Gesetz, erhält man die Geschwindigkeit als gewichtetes Mittel über alle Einzelgeschwindigkeiten

[math]\vec v_{MMP}=\frac{\sum_i m_i\vec v_i}{\sum_i m_i}[/math]

Integriert man diese Gleichung beidseits über ein beliebiges Zeitintervall, erhält man den Ortsvektor für einen Punkt, den man Massenmittelpunkt nennt

[math]\vec r_{MMP}=\frac{\sum_i m_i\vec r_i}{\sum_i m_i}[/math]

Der Massenmittelpunkt kann zu jeder Zeit für ein beliebiges, also auch nicht isoliertes System gerechnet werden. Setzt man die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes in die Impulsbilanz ein, erhält man die allgemeinste Form des Grundgesetzes der Mechanik

[math]\sum_i \vec F_i+m\vec g=\dot{\vec p}=m\dot{\vec v}_{MMP}[/math]

Hier wird angenommen, dass das Gravitationsfeld homogen ist, also auf alle Teilsysteme gleich stark wirkt. Selbstverständlich dürfen in der Bilanz nur die Stärken von Impulsströmen gezählt werden, die über die Systemgrenze fliessen (äussere Kräfte).

starrer Körper

Prallt ein Vogel gegen die Scheibe einer Pilotenkanzel (engl. cockpit für Hahnengrube), darf das Grundgesetz der Mechanik auch auf das System Vogel angewendet werden. Nur liefert die Beschleunigung von dessen Massenmittelpunkt keine verwertbare Information, weil sich dieser Punkt beim Aufprall auch relativ zum Vogel bewegt. Generell ist die Summe über alle Kräfte gleich der Beschleunigung des Massenmittelpunktes. Nur kann diese Beschleunigung oft nicht gemessen werden, weil der Massenmittelpunkt in keinem direkten Bezug zum Gesamtsystem steht.

Festkörper ändern ihre Gestalt unter nicht zu grosser Belastung kaum. Solche Körper werden durch das Modell des starren Körpers gut nachgebildet. Beim starren Körper ist der Massenmittelpunkt eine körperfeste Grösse. Zudem behalten alle andern materiellen Punkte ihre gegenseitige Lage bei. Mit dem dynamischen Verhalten des starren Körpers wollen wir uns in einer späteren Vorlesung beschäftigen. Hier begnügen wir uns mit den geometrischen (kinematischen) Aspekten des starren Körpers.

Der Bewegungszustand des starren Körpers ist zu jedem Zeitpunkt durch die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes und durch seine Winkelgeschwindigkeit festgelegt. Weil die Impulsbilanz die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes liefert, geht man in der Regel auch von dieser Grösse aus.

Rotation um starre Achse

Einen starren Körper, der um eine feste Achse rotiert, nennt man Rotator. Bei einem Rotator beschreibt jeder Punkt eine Kreisbahn. Weil sich jede Linie auf dem Rotator in gleichen Zeiten um den gleichen Winkel dreht, gilt für den ganzen Körper zu jedem Zeitpunkt die gleiche Winkelgeschwindigkeit. Zwischen dem Weg (b für Bogenlänge), den ein Punkt im Abstand r von der Drehachse in einem bestimmten Zeitabschnitt zurücklegt und dem zugehörigen Drehwinkel Δφ besteht ein einfacher Zusammenhang

[math]b=r\Delta\varphi[/math]

Dividiert man diese Beziehung durch den Zeitabschnitt, ergibt sich ein Zusammenhang zwischen Betrag der Geschwindigkeit v, Schnelligkeit genannt, und der Winkelgeschwindigkeit

[math]v=r\omega[/math]

Denkt man sich den Zeitabschnitt beliebig kurz, ist die zweite Gleichung die Ableitung der ersten nach der Zeit. Eine weitere Ableitung nach der Zeit liefert einen Zusammenhang zwischen der Tangentialkomponente der Beschleunigung dieses Punktes a_t (Tangentialbeschleunigung) und der Winkelbeschleunigung α

[math]a_t=r\alpha[/math]

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit. Weil wir hier nur einen Weg (Bogen) bzw. eine Schnelligkeit abgeleitet haben, ist ein Teil der Beschleunigung "verloren" gegangen. Jeder Punkt, der auf einer Kreisbahn läuft, weist noch eine Beschleunigung auf, die gegen das Kreiszentrum gerichtet ist, also normal zur Geschwindigkeit steht und deshalb Normalbeschleunigung heisst

[math]a_n=\frac{v^2}{r}=r \omega^2[/math]

Die Geschwindigkeit und die Normalbeschleunigung der Punkte auf einem sich drehenden Rotator nehmen proportional mit dem Abstand zur Drehachse zu. Ist zusätzlich noch eine Winkelbeschleunigung vorhanden, dreht also der Rotator immer schneller oder wird er gebremst, gilt die gleiche Abhängigkeit vom Radius auch für die Tangentialbeschleunigung.

Geschwindigkeiten auf starrem Körpern

Hält man statt einer Achse nur einen Punkt des starren Körpers fest, wird aus dem Rotator ein Kreisel. Wirkt kein Drehmoment auf den Kreisel ein, bleibt sein Drehimpuls konstant (ein Drehmoment entspricht der Stärke eines Drehimpulsstromes oder einer Drehimpulsquelle). Je nach Form und Ausrichtung des Kreisels kann sich die Lage der Drehachse relativ zum Kreisel auch bei konstantem Drehimpuils, also ohne Einwirkung eines Drehmoments, ändern. Dieses Phänomen nennt man Nutation. Weil die Drehachse dann keine körperfeste Grösse mehr ist, spricht man beim Kreisel nur noch von der momentanen Drehachse. Die momentane Drehachse wird durch die Punkte gebildet, die im Moment relativ zum Laborsystem in Ruhe sind

Man kann zeigen, dass sich die Winkelgeschwindigkeit wie ein Vektor transformiert. Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit zeigt immer parallel zur momentanen Drehachse. Dabei steht der Vektor der Winkelgeschwindigkeit zum Drehsinn wie der Daumen der rechten Hand zu seinen Finger (Rechte-Hand-Regel). Die momentane Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Kreisel ergibt sich nun durch ein Vektorprodukt

[math]\vec v=\omega\times\vec r[/math]

wobei der Vektor r von einem beliebigen Punkt auf der momentanen Drehachse zum fraglichen Punkt zeigt.

Beispiel 1: Ein Güterzug fährt mit 108 km/h geradeaus. Welche Maximalgeschwindigkeit erreichen die oberste Punkte auf dem Spurkranz (überkragender Wulst auf der Innenseite der Lauffläche des Rades)? Wie schnell bewegt sich der im Moment tiefst gelegene Punkt auf dem Spurkranz? Der Durchmesser des Radlaufkreises beträgt 920 mm, der Spurkranz weise einen Druchmesser 980 mm auf.

Die momentane Drehachse liegt auf der Lauffläche, dort wo das Rad die Schiene berührt. Für die Geschwindigkeit der Radachse gilt der oben formulierte Zusammenhang. Folglich ist die Winkelgeschwindigkeit gleich

[math]\omega=\frac{v_{Zug}}{r}=\frac{30 m/s}{0.46 m}[/math] = 65.2 1/s

Der obersten Punkt des Spurkranzes liegt 950 mm über der Lauffläche der Schiene. Multipliziert man diese Distanz mit der Winkelgeschwindigkeit, ergibt sich eine Geschwindigkeit von 61.95 m/s oder 223 km/h. Der tiefste gelegene Punkt des Spurkranzes liegt 30 mm unterhalb der Lauffläche. Folglich bewegt er sich mit 1.96 m/s oder 7 km/h gegen den Güterzug.

Die oben formulierte Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit und Geschwindigkeit erlaubt die Berechnung der Geschwindigkeit (als Vektor) für einen beliebigen Punkt auf dem Rad eines Zuges oder eines Autos. Nimmt man zwei verschiedene Punkte (A und B) und subtrahiert die Geschwindigkeiten voneinander, erhält man eine noch allgemeinere Form

[math]\vec v_B-\vec v_A=(\omega\times\vec r_B)-(\omega\times\vec r_A)=\omega\times(\vec r_B-\vec r_A)[/math]

oder Umgeformt

[math]\vec v_B=\vec v_A+(\vec\omega\times\vec r_{AB})[/math]

Der Vektor r_AB zeigt vom Punkt A zum Punkt B.

Beispiel 2:

Planetengetriebe

Ein Planetengetriebe ist ein einfaches Getriebe, bei dem sich quasi das Gehäuse auch noch drehen kann. Das Getriebe besitzt deshalb drei Wellen, eine für das Sonnenrad, eine für das Hohlrad und eine für den Träger der Planetenräder. Die Kinematik von Getrieben beruht auf der Abrollbewegung von Teilkreisen. Folglich sind die Drehzahlen der drei Achsen über diese Abrollbewegung gekoppelt.

Der Teilkreisradius des Sonnenrades sei gleich r, der Radius des Hohlrades wird mit R bezeichnet. Die Radien der Planetenräder ist dann gleich der halben Differenz dieser beiden Radien. Bezüglich der Achse eines Planetenrades gilt

[math]v_T=\omega_T\frac{R+r}{2}=\omega_S r+\omega_P\frac{R-r}{2}[/math]

Die Geschwindigkeit der Achse eines Planetenrades ist gleich der Winkelgeschwindigkeit des Planetenrägers (Index T) mal den Abstand von der Achse des Getriebes oder gleich der Geschwindigkeit des Sonnenrades (Index S) plus die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades (Index P) mal die zugehörige Distanz.

Bezüglich eines zwischen Planetenrad und Hohlrad liegenden Berührpunktes (Index H) kann eine analoge Formulierung gefunden werden

[math]v_H=\omega_H R=\omega_S r+\omega_P(R-r)[/math]

Setzt man die obere Gleichung in die untere ein, erhält man die kinematische Grundgleichung für das Planetengetriebe

[math]\omega_S r+\omega_H R=\omega_T(R+r)[/math]

Hält man wahlweise eine der drei Achsen fest, ergeben sich drei gewöhnliche Getriebe. Die zugehörigen Übersetzungsverhältnisse können direkt der kinematischen Grundgleichung entnommen werden. Drehen sich das Sonnenrad und das Hohlrad mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, dreht sich der Träger des Planetengetriebes trivialerweise ebenfalls mit dieser Winkelgeschwindigkeit.

Ausblick

Die Geschwindigkeit ist das Potenzial der Translationsmechanik, d.h. die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts sagt, wie viel Impuls ein Körper mit gegebener Masse speichert und die Geschwindigkeit einer Refernzfläche legt fest, wie stark ein Impulsstrom mit Energie beladen ist. Desgleichen für die Winkelgeschwindigkeit. Die Winkelgeschwindigkeit sagt, wie viel Drehimpuls ein bestimmter Körper speichert und wie stark ein Drehimpulsstrom mit Energie beladen ist. Auch aus kinematischer Sicht sind Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit einfacher zu handhaben als Ort bzw. Winkel oder Beschleunigung bzw. Winkelbeschleunigung.

Ort und Lage

Dividiert man den Impulsinhalt eines starren Körpers durch dessen Masse, erhält man die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes. Analog dazu lässt sich die Winkelgeschwindigkeit aus dem Drehimpuls berechnen, nur ist das zugehörige Berechnungsverfahren um einiges komplizierter. Sind aber Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt, kann mit der oben aufgeführten Formel die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf dem starren Körper bestimmt werden. Der Ort des Massenmittelpunktes ist - wie schon in der Translationsmechanik mehrfach ausgeführt - durch eine Integration der zugehörigen Geschwindigkeit über die Zeit zu ermitteln. Die Berechnung der Orientierung (Lage) des Körpers ist dagegen um einiges komplizierter und nicht durch eine einfache Integration der Winkelgeschwindigkeit über die Zeit zu ermitteln. Um diese Schwierigkeit, die mit der geometrischen Struktur der Drehung zusammenhängt, zu umgehen, werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich mit der ebenen Bewegung beschäftigen.

rotierendes Bezugssystem

Üblicherweise beschreibt man die Bewegung der Körpern bezüglich des Systems Erde. Dabei nimmt man an, dass sich diese nicht bewegt (Ruhesystem). Mechanische Vorgänge können aber auch relativ zu einem gleichmässig rotierenden Bezugssystem, etwa einem Karussell, beschrieben werden. In diesem Fall muss die Gravitationskraft durch zwei ebenfalls massenspezifische Volumenkräfte (Impulsquellen), die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft, ergänzt werden. Die Zentrifugalkraft hängt nur vom Ort ab. Die Zentrifugalkraft kann wie die Gewichtskraft als Masse mal Stärke eines Zentrifugalfeldes beschrieben werden. Die Corioliskraft hängt dagegen nur von der Geschwindigkeit (relativ zum rotierenden Bezugssystem) ab. Auf der Erde selber macht sich die Corioliskraft nur bei grossräumigen Bewegungen wie etwa bei Winden bemerkbar und die Zentrifugalkraft ist ein Teil von dem, was wir als Gewichtskraft bezeichnen.

Leider wird der Begriff Zentrifugalkraft oft bei der Kreisbewegung eines einzelnen Körpers verwendet. Dort hat diese Grösse aber gar nichts zu suchen. Ein Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn, weil er über ein Seil, die Haftreibung oder einem andern Leiter Impuls mit der Umgebung austauscht.

Kontrollfragen

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