Widerstand und Kapazität

Lernziele

In diesem Kapitel lernen Sie

• wie man elektrische Vorgänge im Flüssigkeitsbild darstellt
• dass die elektrische Ladung eine bipolare, mengenartige Grösse ist
• wie man die elektrische Ladung nachweist
• mit welcher Einheit man die elektrische Ladung misst
• welche Bedeutung Potential und Spannung haben und mit welcher Einheit diese gemessen werden
• wie eine Kapazität definiert ist und mit welcher Einheit diese gemessen wird
• wie die Richtung des elektrischen Stromes festgelegt ist
• mit welcher Einheit man den elektrischen Strom misst
• wie der Widerstand definiert ist und mit welcher Einheit dieser gemessen wird
• wie man den Gesamtwiderstand bei Reihen- und Parallelschaltung berechnet
• wie die Prozessleistung bei einem Widerstand von Strom und Spannung abhängen
• wie Energietransport und Ladungstransport zusammen hängen

elektrische Ladung

• Video 7:30

Die elektrische Ladung ist eine bipolare mengenartige Grösse, d.h. die Ladung kann gespeichert und transportiert werden. Zudem kann die Ladung eines Körpers kleiner als null werden. Das entsprechende Vorzeichen ist von Benjamin Franklin festgelegt worden, nachdem er mit elektrostatischen Experimenten gezeigt hat, dass die Ladung in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt. Die elektrische Ladung wird in Coulomb (C) gemessen und mit dem Formelzeichen Q bezeichnet. Die elektrische Ladung erzeugt ein elektrisches Feld. Das hat zur Folge, dass ein geladener Körper gegenüber der Umgebung ein elektrisches Potential besitzt. Das elektrische Potential wird in Volt (V) gemessen und mit dem Formelzeichen φ bezeichnet. Das Potential eines elektrostatisch geladenen Körpers beträgt oft einige Kilovolt. Die Kapazität (Formelzeichen C, Einheit Farad (F)) beschreibt den Zusammenhang zwischen der elektrischen Ladung, die auf einen Körper gebracht wird, und dem Potential, das dadaurch aufgebaut wird. Die Kapazität ist als Verhältnis von Ladung pro Potential definiert

[math]C=\frac{Q}{\varphi}[/math]

Aus dieser Definitionsgleichung für die Kapazität folgt, dass ein negativ geladener Körper ein negatives Potential besitzt. Die grundlegenden Beziehungen zwischen Kapazität, Potential und Ladung lassen sich gut im Flüssigkeitsbild darstellen.

elektrischer Strom und Ladungsausgleich

• Video 5:56

Verbindet man zwei geladene Körper leitend miteinander, fliesst solange eine elektrischer zwischen den Körpern, bis die beiden Potentiale gleich gross sind. Die Stärke des elektrischen Stromes wird in Ampère (A) gemessen und mit I bezeichnet. Die Richtung des elektrischen Stromes ist durch die Wahl des Vorzeichens für die elektrische Ladung festgelegt. Würde man das Vorzeichen der elektrischen Ladung umdrehen, flössen alle elektrischen Ströme auf die andere Seite. Der Wert des Potentials am Schluss dieses Ausgleichsprozesses wird mit einer Formel berechnet, die man direkt dem Flüssigkeitsbild entnehmen kann

[math]\phi_{End}=\frac{Q_1+Q_2}{C_1+C_2}[/math]

Ersetzt man die elektrische Ladung über das kapazitive Gesetz durch Kapazität mal Potential, folgt

[math]\phi_{End}=\frac{C_1\varphi_1+C_2\varphi_2}{C_1+C_2}[/math]

Widerstand

• Video 9:24

Eine Potentialdifferenz, Spannung genannt, treibt den elektrischen Strom an. Die Spannung hat die gleiche Einheit wie das Potential (Volt) und wird mit U bezeichnet. Der Potentialdifferenz, dem eigentlichen Antrieb, wirkt der Widerstand (Formelzeichen R, Einheit Ohm (Ω) entgegen. Fliesst schon bei kleiner Spannung ein beachtlicher Strom, ist der Widerstand klein. Bleibt der elektrische Strom auch bei grosser Spannung schwach, ist der Widerstand gross. Der Widerstand ist deshalb als Verhältnis von Strom zu Spannung definiert

[math]R=\frac{U}{I}[/math]

Verbindet man mehrere Widerstände in Reihe miteinander, muss der Strom durch alle Elemente hindurch. Dazu braucht es über jedem Element die entsprechende Spannung. Die Gesamtspannung ist dann gleich der Summe all dieser Potentialdifferenzen. Ersetzt man die Gesamtspannung durch Stromstärke mal Gesamtwiderstand und führt für die einzelnen Spannungen die analoge Operation durch, erhält man die Formel für die Berechnung des Gesamtwiderstandes bei Reihenschaltung

[math]R=R_1+R_2+R_3+R_4...[/math]

Verbindet man mehrere Widerstände parallel miteinander, herrscht über allen Elementen die gleiche Spannung. Ersetzt man nun die Spannung durch den Quotienten aus Stromstärke und Widerstand, folgt die Formel für die Berechnung des Gesamtwiderstandes bei Parallelschaltung

[math]\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}...[/math]

Energie

• Video 5:26

Verschiebt man die kleine Ladungsmenge ΔQ von einem Körper mit Potential φ₁ zu einem Körper mit Potential φ₂ wird die folgende Energiemenge umgesetzt

[math]\Delta W=\Delta Q (\varphi_1-\varphi_2)[/math]

Die Energie wird in Joule (J) gemessen. Ein Joule ist deshalb gleich ein Coulomb mal Volt. Ein positiver Energieumsatz bedeutet, dass die Ladung potentialmässig hinunter fliesst und dabei Energie freisetzt. Diesen Prozess kann man intuitiv verstehen, wenn man ihn im Flüssigkeitsbild darstellt. Mit Hilfe des Flüssigkeitsbildes können ganze Prozesse in Bezug auf die Energie analysiert werden (siehe Video).

Leistung

• Video 6:03

Soll statt des Energieumsatzes pro verschobene Ladung der Energieumsatz pro Zeit, Leistung genannt, bestimmt werden, folgt die zugehörige Formel aus dem Energieumsatz. Dazu betrachtet man einen kontinuierlich fliessenden Strom, nimmt die während eines Zeitabschnittes geflossene Ladung, berechnet den zugehörigen Energieumsatz und dividiert die entsprechende Formel durch den Zeitabschnitt

[math]\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{\Delta Q}{\Delta t} (\varphi_1-\varphi_2)[/math] also [math]P=IU[/math]

Die elektrische Leistung wird in Watt oder Joule pro Sekunde gemessen. Folglich ist ein Watt gleich ein Joule pro Sekunde oder ein Volt mal Ampère. Ein elektrischer Strom, der über eine Potentialdifferenz oder Spannung fällt, setzt somit eine Leistung frei, die gleich dem Produkt aus Spannung und Stromstärke ist. Diese Beziehung kann man direkt dem Flüssigkeitsbild entnehmen und im Wasserfallbild, das Sadi Carnot schon für die Entropie gebraucht hat, darstellen.

zugeordneter Energiestrom

• Video 9:23

Die Prozessleistung beschreibt, wie viel Energie pro Zeit ein elektrischer Strom in einem Element, zum Beispiel einem Draht, frei setzt. Wir können nun als zweite Grösse noch den zugeordneten Energiestrom einführen. Der zugeordnete Energiestrom ist gleich elektrisches Potential mal elektrische Stromstärke

[math]I_W=\varphi I[/math]

Der zugeordnete Energiestrom wird wie die Leistung in Watt gemessen. Aus dem Flüssigkeitsbild entnehmen wir, dass bei einem Prozess die Summe der beiden Energieströme gleich der Leistung ist. Der zugeordnete Energiestrom wird dann benötigt, wenn man einen Speicher oder eine lange Transportleitung betrachtet. Betrachtet man zum Beispiel eine Hochspannungs-Gleichstrom-Übertragung (hgü), sieht man oft nur zwei Drahtbündel. In diesen an langen Isolatoren hängenden Leitungen fliesst ein Gleichstrom im Kreis herum. Weil das eine Potential positiv und das andere negativ ist, fliessen beide zugeordneten Energieströme in die gleich Richtung. Nimmt man die Potentialdifferenz über einem der beiden Leitungsstränge und multipliziert diese mit der Stromstärke, erhält man die in diesen Drähten dissipierte Leistung. Leistung ist also die Energie, die pro Zeit in einem System umgesetzt wird. Der zugeordnete Energiestrom beschreibt die Energie, die pro Zeit mit der Ladung transportiert wird.

Kontrollfragen

1. Mit welchen Einheiten werden elektrische Ladung, Stromstärke, Spannung, Kapazität und Widerstand gemessen?
2. Wie ist die Kapazität eines Ladungsspeichers definiert?
3. Wie ist der Widerstand eines Leiters definiert?
4. Wie viel Ladung enthält eine isoliert aufgestellte Kugel mit einer Kapazität von 20 pF und einem Potential von 5 kV?
5. Wie viel Energie speichert diese Kugel elektrisch?
6. Wie stark ist der elektrische Strom, der durch eine Glühbirne fliesst, welche mit 230 V und 60 W angeschrieben ist?
7. Wie gross ist der Widerstand dieser Glühbirne?
8. Wie gross ist der Gesamtwiderstand, wenn man 5 identische Widerstände einmal in Reihe und einmal parallel schaltet?
9. Eine Metallkugel (Kapazität 25 pF, Potential 6 kV) wird mit einer zweiten (Kapazität 15 pF, Potential -6 kV)verbunden.
   1. Wie gross ist das Endpotential?
   2. Wie viel Ladung ist von einer Kugel zur andern geflossen?
   3. Wie viel Energie ist dissipiert worden?

Antworten zu den Kontrollfragen

1. Coulomb, Ampère, Volt, Farad und Ohm.
2. Die Kapazität ist gleich Ladung auf einem Teil des Kondensators (geflossene Ladung) durch Spannung über dem Kondensator: C = Q/U.
3. Der Widerstand ist gleich Spannung über dem Element geteilt durch Stärke des durchfliessenden Stromes: R = U/I
4. 100 nC
5. Die Energie ist gleich Ladung mal mittleres Potential 250 μJ.
6. [math]I=\frac{P}{U}[/math] = 0.261 A.
7. Mir [math]R=\frac{U}{I}[/math] folgt [math]R=\frac{U^2}{P}[/math] = 882 Ohm.
8. Serie- oder Reihenschaltung: fünf mal grösser; Parallelschaltung: ein Fünftel.
9. Unbedingt Flüssigkeitsbild zeichnen
   1. φ = 1500 V
   2. ΔQ = 112.5 nC
   3. W_diss = 675 μJ

Materialien

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014