Dynamische Systeme 1. Ordnung

Lernziele

In dieser Vorlesung werden Sie lernen

• wie eine Kapazität definiert ist
• wie ein lineares Widerstandsgesetz zu formulieren ist
• wie eine Induktivität zu definieren ist
• wie die Potential-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen RC-Gliedes aussieht
• wie die Spannungs-Zeit- oder die Stromstärke-Zeit-Funktion eines linearen LR-Gliedes aussieht
• wie die dissipierte Leistung bei einem Widerstandselement berechnet wird
• wie die Energie eines Speichers mit konstanter Kapazität berechnet wird
• wie die Energie einer Induktivität zu berechnen ist
• wie man Systeme mit zwei Speicher auf solche mit einem zurück führt

Problemstellung

Ein mit Wasser gefülltes Gefäss hängt an einem Kraftmessgerät. Nachdem man den Stöpsel im Boden heraus gezogen hat, leert sich das Gefäss über einen dünnen Wasserstrahl, der nach unten weg geht. Über die Kraftmessung können wir das Masse-Zeit-Verhalten beobachten. Wann ist das Gefäss noch halb voll? Wann ist es leer? Gibt es eine Füllstand-Zeit-Funktion für dieses Problem? Sie haben dieses Problem ist der ersten Woche des ersten Semesters mit Hilfe eines systemdynamischen Tools modelliert und simuliert. Nun wollen wird dieses System und eine ganze Klasse von ähnlichen Problemen mathematisch behandeln.

Wir stellen dazu ein zylinderförmiges Gefäss, aus dem in bodennähe ein Röhrchen horizontal weg führt, auf eine Waage. Das Gefäss entlehrt also seinen Inhalt über ein längeres Röhrchen statt über ein kleines Loch. Damit haben wir ein klare Trennung von Speicher und Leiter. Das Verhalten des Speichers kann mit Hilfe der Kapazität beschrieben werden

[math]\Delta V=C_V\Delta p[/math]

wobei für zylinderförmige Gefässe gilt

[math]C_V=\frac{A}{\varrho g}[/math]

Die Druckdifferenz über dem Röhrchen treibt den Volumenstrom. Falls die Flüssigkeit zäh genug ist und der Durchmesser des Röhrchens nicht zu gross, bleibt die Strömung laminar, d.h. Volumenstromstärke und Druckdifferenz sind proportional zueinander

[math]\Delta p = R_VI_V[/math]

Der laminare Strömungswiderstand kann mit Hilfe des Gesetzes von Hagen-Poiseuille berechnet werden. Beachten Sie, dass [math]\Delta p[/math] in den beiden Formeln eine unterschiedliche Bedeutung hat: im Kapazitivgesetz wird die Druckdifferenz zwischen den Füllzuständen zu zwei verschiedenen Zeitpunkten gebildet, im Widerstandsgesetz ist die Druckdifferenz über dem Rohr zum gleichen Zeitpunkt einzusetzen. Die erste Druckdifferenz wird demnach über eine Zeitspanne, die zweite über einer Länge gebildet.

Leiter

Lineare Widerstandsgesetze findet man in verschiedenen Gebieten der Physik

Gebiet	Menge	Potential	Gesetz	Beispiel
Hydrodynamik	Volumen	Druck	[math]\Delta p=R_VI_V[/math]	laminare Strömung
Elektrodynamik	elektrische Ladung	Spannung	[math]U=RI[/math]	Widerstandselement
Translationsmechanik	Impuls	Geschwindigkeit	[math]\Delta v_x=R_{px}F_x[/math]	linearer Dämpfer
Rotationsmechanik	Drehimpuls	Winkelgeschwindigkeit	[math]\Delta \omega_x=R_{Lx}M_x[/math]	Wirbelstrombremse
Thermodynamik	Energie	Temperatur	[math]\Delta T=R_WI_W[/math]	Wärmeleitung

In den ersten vier Beispielen fliesst ein Mengenstrom über eine Potentialdifferenz (Wasserfallbild). Dabei wird Energie frei gesetzt und Entropie erzeugt. Weil bei der Wärmeleitung Entropie hinunter fliesst und gleichzeitig Entropie erzeugt wird, nimmt man meist die Wärmeenergie als erhaltene mengenartige Grösse.

Speicher

Speicher mit konstanter Kapazität findet man in den folgenden fünf Gebieten der Physik

Gebiet	Menge	Potential	Gesetz	Beispiel
Hydrodynamik	Volumen	Druck	[math]C_V\Delta p=\Delta V[/math]	zylinderförmiger Behälter
Elektrodynamik	elektrische Ladung	Spannung	[math]CU=Q[/math]	Kondensator
Translationsmechanik	Impuls	Geschwindigkeit	[math]mv_x=p_x[/math]	Hammer
Rotationsmechanik	Drehimpuls	Winkelgeschwindigkeit	[math]J\omega_x=L_x[/math]	Schwungrad
Thermodynamik	Energie	Temperatur	[math]C_p\Delta T=\Delta H[/math]	Wärmespeicher

Die Masse eines Körpers bildet die Impulskapazität für alle drei Impulskomponenten. Rotierende Körper besitzen mindestens drei Hauptachsen mit drei verschiedenen Massenträgheitsmomenten. Nimmt man in der Thermodynamik die Energie als Bilanzgrösse, heisst die eigentliche Speichergrösse Enthalpie. Die Enthalpiekapazität oder Wärmekapazität bei konstantem Druck ist bei vielen Körpern über grössere Temperaturbereiche nahezu konstant.

RC-Glied

Taucht man in das Gefäss mit dem horizontalen Abflussrohr ein, steigt der Druck mit der Eintauchtiefe.

[math]\Delta p=\varrho gh[/math]

Folgt man dann der durch das horizontale Rohr werströmenden Flüssigkeit, sinkt der Druck kontinuierlich bis auf das Umgebungsniveau ab. Folglich sind hydrosatischer Druckanstieg und reibungsbedingter Druckabfall gleich gross

[math]\Delta p_C+\Delta p_R=0\[/math]

Setzt man nun die konstitutiven Gesetze (kapazitives und resistives) in die Druckgleichung ein, erhält man

[math]\frac{V}{C_V}+R_VI_V=0[/math]

Ersetzt man nun noch die Stromstärke mit Hilfe der Bilanzgleichung durch die Änderungsrate des Volumens,

[math]I_V=\dot V[/math]

erhält man eine homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

[math]\frac{V}{C_V}+R_V\dot V=0[/math] oder [math]\frac{V}{C_VR_V}+\dot V=0[/math]

Die folgende Funktion erfüllt diese Differentialgleichung (bitte selber mal einsetzen),

[math]V=V_0e^{-t/\tau}[/math]

wenn für die Zeitkonstante τ gilt

[math]\tau =R_VC_V[/math]

Für die Füllhöhe dividiert man das Volumen durch den Querschnitt. Den Druck am Boden des Gefässes in Funktion erhält man durch Multiplikation der Füllhöhe mit Dichte und Gravitationsfeldstärke oder durch Division des Volumens mit der Kapazität. Für die Umrechnung auf das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten benutzt man das Widerstandsgesetz oder leitet die Volumen-Zeit-Funktion nach der Zeit ab

[math]I_V=-I_{V0}e^{-t/\tau}[/math] mit [math]I_{V0}=\frac{\Delta p_0}{R_V}[/math]

Legt man umgekehrt bei einem leeren Gefäss mit horizontalem Röhrchen einen konstanten Druck an, füllt sich das Gefäss bis zum Gleichgewichtszustand. Die zugehörige Druckgleichung lautet

[math]\Delta p_C+\Delta p_R=\Delta p_{aussen}\[/math]

und Volumen-Zeit-Funktion ist monoton steigend

[math]V=V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right)[/math] mit [math]V_0=C_V\Delta p_{aussen}=\frac{A\Delta p_{aussen}}{\varrho g}[/math]

Durch Ableiten nach der Zeit erhält man das Volumenstromstärke-Zeit-Verhalten. Das Druck-Zeit-Verhalten berechnet man Wahlweise aus dem Volumen mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes oder aus der Stromstärke mit Hilfe des resistiven Gesetzes.

Diese Herleitungen und Ergebnisse können unter Beizug der Tabellen für Kapazität und Widerstand auf die Mechanik, die Elektrodynamik oder die Thermodynamik übertragen.

Induktivität

Induktive Glieder findet man in der Hydrodynamik, der Elektrodynamik und der Mechanik

Gebiet	Menge	Potential	Gesetz	Beispiel
Hydrodynamik	Volumen	Druck	[math]\Delta p=L_V\dot I_V[/math]	langes Rohr
Elektrodynamik	elektrische Ladung	Spannung	[math]U=L\dot I[/math]	supraleitende Spule
Translationsmechanik	Impuls	Geschwindigkeit	[math]\Delta v_x=L_p\dot I_{px}[/math]	ideale Feder
Rotationsmechanik	Drehimpuls	Winkelgeschwindigkeit	[math]\Delta\omega_x=L_L\dot I_{Lx}[/math]	ideale Drehfeder

In der Mechanik formuliert man üblicherweise die Federgesetze mit Kraft und Federdehnung

[math]F_x=D\Delta x[/math] oder [math]M_x=D^*\Delta\phi[/math]

wobei immer zwei Kräfte oder zwei Drehmomente an der Feder angreifen. Diese Einwirkungen entsprechen der Impuls- bzw. der Drehimpulsstromstärke an den jeweiligen Stellen bezogen auf die Feder. Leitet man die Federgesetze nach der Zeit ab, wird ersichtlich, dass die mechanischen Induktivitäten den Reziprokwerten der Federkonstanten entsprechen.

RL-Glied

Die Reihenschaltung eines Widerstandselementes mit einer Induktivität bildet ein RL-Glied. In der Mechanik sind das eine Feder und ein Dämpfer im gleichen "Kraftfluss". In der Elektrodynamik verhält sich eine reale Spule wie ein RL-Glied, d.h. die reale Spule kann in guter Näherung als Serieschaltung eines Widerstandes mit einer Induktivität dargestellt werden. Schliesst man eine stromdruchflossene Spule kurz, fällt die Spannung zwischen den Enden sofort auf null und für die beiden "inneren" Spannungen gilt

[math]U_R+U_L=0[/math]

Die beiden Spannungen ersetzen wir nun über das resistive und das induktive Gesetz durch die Stromstärke beziehungsweise die Änderungsrate der Stromstärke

[math]RI+L\dot I=0[/math] oder [math]\frac{R}{L}I+L\dot I=0[/math]

Diese lineare Differentialgeleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann wieder mit einem Exponentialansatz gelöst werden

[math]I=I_0e^{-t/\tau}[/math]

womit für die Zeitkonstante τ gilt

[math]\tau=\frac{L}{R}[/math]

In der Mechanik definiert man oft eine Dämpferkonstante k, die dem Reziprokwert des Widerstandes enstpricht und damit einen Leitwert darstellt. Mit der Federkonstante D ergibt sich für die Zeitkonstante des serielle Feder-Dämpfer-Systems

[math]\tau=\frac{k}{D}[/math]

In der Hydraulik macht sich die Induktivität nur bei Rohren ab einem gewissen Durchmesser bemerkbar. Dann ist die Strömung nicht mehr laminar und die hier definierte Zeitkonstante kann nicht direkt auf hydraulische Systeme übertragen werden.

Energie und Prozessleistung

Mengenspeicher (Kapazitäten) und Induktivitäten sind Energiespeicher. Für lineare Elemente gilt (M steht für Menge und φ für Potential

[math]W=M\frac{\varphi_M}{2}=\frac{C_M}{2}\varphi^2=\frac{M^2}{2C_M}[/math]

In der Mechanik nennt man die zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie kinetische Energie und die zusammen mit dem Drehimpuls gespeicherte Energie Rotationsenergie

Die Energie einer Induktivität berechnet sich

[math]W=\frac{L_M}{2}I_M^2[/math]

womit man in der Mechanik die Energie einer linearen Feder erhält.

Fliesst ein Mengenstrom bei einem Widerstandelement über eine Potentialdifferenz, wird eine Prozessleistung freigesetzt und dissipiert

[math]P=\Delta\varphi I_M=R_M I_M^2=\frac{\Delta\varphi^2}{R_M}[/math]

Bei der Wärmeleitung lässt Formel für die Prozessleistung direkt auf den Entropiestrom anwenden. Die dabei produzierte Entropie muss aber beim abfliessenden Entropiestrom dazu gerechnet werden.

Nichtlineare RC-Glieder

Beim Blasenspeicher steigt der Druck überproportional mit dem Volumen, d.h. dieses Element verhält sich nichtlinear und seine Kapazität ist vom Volumen abhängig. Wasser strömt nur in dünnen Röhrchen und bei nicht allzu grosser Strömungsgeschwindigkeit laminiar. Ab einer kritischen Reynolds-Zahl wird die Strömung turbulent und der Druckabfall nimmt mit dem Quadrat der Volumenstromstärke zu

[math]\Delta p = k_VI_V^2[/math]

In der Mechanik verhalten sich die meisten Stromglieder (Impuls- und Drehimpulsleiter} nichtlinear. Dynamische Systeme, die Elemente mit nichtlinearer Charakteristik enthalten, werden oft um einen Arbeitspunkt herum linearisiert. Dann kann man wenigstens in diesem Bereich annähernd exakte Aussagen über das Systemverhalten machen. Einige wenige Systeme mit nichtlinearem Verhalten lassen sich so modellieren, dass deren Verhalten geschlossen lösbar sind. Ihr zeitliches Verhalten kann dann mit Funktionen beschrieben werden. Dazu gehört auch der wassergefüllt Topf mit einem Loch im Boden. Anstelle des Lochs nehmen wir ein horizontal wegführendes Rohr, das so dick ist, dass das Wasser meist turbulent wegfliesst. Wieder ist die hydrostatische Druckzunahme gleich dem Druckabfall im horizontalen Rohr. Setzen wir nun die beiden konstitutiven Gesetze ein, erhalten wir

[math]\frac{V}{C_V}+k_VI_V^2=0[/math] oder umgeformt mit Hilfe der Bilanz [math]V+C_Vk_V\dot V^2=0[/math]

Die Lösung dieser nichtlinearen Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man ein Stück weit erraten: gesucht ist eine Funktion V(t), die einmal nach der Zeit abgeleitet und dann quadriert bis auf eine konstante sich selbst entspricht. Diese Forderung erfüllt eine quadratische Funktion. Die Volumenstromstärk-Zeit-Funktion ist dann linear abnehmend

[math]I_V=I_{V0}-Konstante\cdot t[/math]

Die Volumenstromstärke zu Beginn des Entleervorgangs ist gleich Wurzel aus dem Quotienten von Anfangsbodendruck und turbulentem Strömungswiderstand. Die Konstante entspricht dem Reziprokwert der Entleerzeit Τ. Die Entleerzeit ist doppelt so lang, wie wenn die Anfangsstromstärke erhalten bliebe

[math]I_{V0}=\sqrt{\frac{V_0}{C_Vk_V}}=\sqrt{\frac{V_0\varrho g}{Ak_V}}[/math]

[math]\Tau=\frac{2V_0}{I_{V0}}[/math] und damit [math]Konstante=2\sqrt{V_0C_Vk_V}=2\sqrt{\frac{V_0Ak_V}{\varrho g}}[/math]

Die der Graph der Volumen-Zeit-Funktion ist ein Parabelast mit Scheitel gleich null bei der Entleerzeit. Der turbulente Widerstand k_V berechnet sich aus der Dichte der kinetischen Energie, dem Querschnitt A_Rohrund der Verlustziffer ζ

[math]k_V=\zeta\frac{\varrho}{2}v^2\frac{1}{A_{Rohr}^2}[/math]

Beim Topf mit dem Loch im Boden ist ζ=1 und statt des Rohrquerschnitts nimmt man den Querschnitt des Freistrahls (nicht des Lochs). Anhand dieses Beispiels sollten Sie den Nutzen der systemdynamischen Modellbildung erkennen. Modellieren und Simulieren kann man dieses Problem schon in der ersten Woche des ersten Semesters. Das mathematische Verständnis dauert etwas länger.

Das systemdynamische Modell des RC-Gliedes zeigt die Struktur mit Dynamikebene und Energieebene sehr schön auf. Für komplexere Systeme nimmt man mit grossem Gewinn ein objektoriente Sprache wie Modelica.

Zwei Speicher

Im Laufe dieses Kurses haben Sie oft Probleme gelöst, bei denen ein Speicher mit einem zweiten verbunden ist (Zwei Gefässe, U-Rohr mit Federn, Zwei Kondensatoren, RC-Glied mit zwei Kondensatoren, Rangierstoss, Zwei Klötze mit Feder, Zwei Schwungräder oder Zwei Wärmespeicher). Solche Systeme lassen sich in ihrer komplexität reduzieren, indem man die beiden in Serie geschalteten Speicher durch einen einzigen mit kleinerer Kapazität ersetzt

[math]C_{Serie}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}[/math]

und statt des Potentials die Potentialdifferenz nimmt. Verhält sich das Verbindungsstück wie ein linearer Widerstand, berechnet sich die Zeitkonstante wie beim einfachen RC-Glied. Nur ist dann die Kapazität der Serieschaltung einzusetzen.

In der Mechanik wird dieses Verfahren oft angewendet, um ein Zweikörperproblem (z.B. Doppelsterne) auf ein Einkörperproblem zu reduzieren. Für die Masse als Kapazität gilt dann

[math]m_{red}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}[/math]

m_red heisst dann reduzierte Masse.

Kontrollfragen

1. Wann gehorcht strömende Flüssigkeit in einem Rohr dem linearen Widerstandsgesetz?
2. Welche mechanischen Bauteile wirken als Impulswiderstände? Welche Bauteile verhalten sich wie lineare Drehimpulswiderstände?
3. Zählen Sie ein Kapaztitäten aus den Gebieten Hydrodynamik, Elektrodynamik, Translations- und Rotatonsmechanik sowie Thermodynamik auf.
4. Nennen Sie Beispiele von hydraulischen, mechanischen oder thermischen RC-Glieder. Wie heisst die dabei ausgetauschte mengenartige Grösse?
5. Auf welchen Prozentsatz ist das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?
6. Nach welcher Zeit (ausgedrückt durch die Zeitkonstante) hat sich das Potential oder die Spannung bei einem linearen RC-Glied halbiert?
7. Auf welchen Prozentsatz ist die Prozessleistung bei einem linearen RC-Glied nach sechs Zeitkonstanten gesunken?
8. Wie lange dauert nach dem Einschalten bis der Strom bei einem LR-Glied 90% des Endwertes erreicht hat (ausgedrückt durch die Zeitkonstante)?

Antworten zu den Kontrollfragen

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014