Impulsbilanz bei offenen Systemen

Ein offenes System kann den Impuls über die Oberfläche (leitungsartig), über das Volumen (quellenartig) und zusammen mit der Materie (konvektiv] austauschen. Die Strom- und die Quellenstärken des Impulsaustausches nennt man Kräfte. Bei Triebwerken (Raketen- und Strahltriebwerken) spielt der konvektive Impulstransport eine dominierende Rolle. Auch beim Propellerantrieb und beim dynamischen Auftrieb wird ein beachtlicher Teil des Impulses konvektiv, also zusammen mit dem strömenden Fluid transportiert.

In der technischen Mechanik steht die Impulsbilanz mit den leitungsartigen Strömen (Oberflächenkräfte) und der Impulsquelle (Gewichtskraft) in Form des Grundgesetzes der Mechanik im Zentrum. Nimmt man die konvektiven Ströme dazu, erhält man eine umfassendere Formulierung der Impulsbilanz, mit der eine grosse Zahl von technischen Anwendungen erklärt werden kann.

Lernziele

In dieser Vorlesung lernen Sie

wie man die Impulsbilanz bei offenen Systemen formuliert
wie das Strahltriebwerk der Luft Impuls entzieht
wie die Bewegungsgleichung einer Rakete mit Hilfe der Impuls- und der Massenbilanz formuliert wird
wie man die Kraft auf ein gekrümmtes, durchströmtes Rohr rechnet
dass ein Teil des Auftriebs bei Flugzeugen mit Hilfe des Impulses erklärt werden kann

Bilanzgleichungen

Offene Systeme tauschen Materie mit der Umgebung aus. Dieser Austausch wird mit Hilfe einer Bilanz beschrieben. Entweder bilanziert man die Stoffmenge, das Volumen oder die Masse der über die Systemgrenze fliessenden Stoffe. Wir beschränken uns hier neben der Impulsbilanz auf die Massenbilanz. Die konvektiven Impulsströme sind dann über die Geschwindigkeit mit den Massenströmen verknüpft. Bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems können so vier skalare Bilanzgleichungen formuliert werden

[math]\sum_i F_{x_i}+mg_x+\sum_j v_{x_j} I_{m_j}=\dot p_x[/math]

[math]\sum_i F_{y_i}+mg_y+\sum_j v_{y_j} I_{m_j}=\dot p_y[/math]

[math]\sum_i F_{z_i}+mg_z+\sum_j v_{z_j} I_{m_j}=\dot p_z[/math]

[math]\sum_i I_{m_i}=\dot m[/math]

Wählt man die z-Richtung nach unten, entfällt der mittlere Term in den ersten beiden Bilanzgleichungen. Oft werden nur zwei dieser vier Gleichungen benötigt.

Strahltriebwerk

Ein Strahltriebwerk entzieht der Luft Impuls, um damit eine Schubkraft auf das Flugzeug auszuüben. Wählt man die positive Bezugsrichtung nach vorn, lauten die beiden Bilanzgleichungen im stationären Betrieb (keine Änderungsraten)

[math]F_{Druck}+F_{Schub}+v_1 I_{m_1}+v_2 I_{m_2}=0[/math]

[math]I_{m_1}+I_{m_2}+I_{m_{Treibstoff}}=0[/math]

Vernachlässigt man die resultierende Druckkraft (keine Inhomogenität in der Druckverteilung an der Systemgrenze) und den Massenstrom des Treibstoffes, reduziert sich die Impulsbilanz auf

[math]-F_{Schub}=(v_1-v_2)I_m[/math]

Die Schubkraft beschreibt den leitungsartigen Impulsabfluss ans Flugzeug. Nimmt man die Schubkraft auf das Flugzeug statt auf das Triebwerk und die Beträge der beiden Strömungsgeschwindigkeiten, lautet die Gleichung

[math]F_{Schub}=(v_2-v_1)I_m[/math]

Die Schubkraft nimmt proportional zur Massenstromstärke und proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz der durchströmenden Luft zu. Ein starker Massenstrom oder eine grosse Geschwindigkeitsdifferenz ergeben eine grosse Schubkraft.

Ein Triebwerk muss der Luft nicht nur möglichst viel Impuls entziehen, es sollte dabei auch nicht zu viel Leistung abgeben müssen. Die Luft nimmt, damit sich ihre kinetische Energie erhöht, folgende Prozessleistung auf

[math]P=\left(\frac{\varrho}{2}v_2^2-\frac{\varrho}{2}v_1^2\right)I_V=\left(\frac{v_2^2}{2}-\frac{v_1^2}{2}\right)I_m=\frac{v_1+v_2}{2}(v_2-v_1)I_m=\frac{v_1+v_2}{2}F_{Schub}[/math]

Mit Schubkraft ist hier der Impulsstrom bezüglich des Flugzeuges gemeint. Im Flüssigkeitsbild kann man erkennen, dass umso mehr Energie benötigt wird, je höher der Impuls gepumpt werden muss

Nun schreiben wir die Prozessleistung mit Hilfe der Geschwindigkeit des Flugzeuges v und der Geschwindigkeitsänderung der durch strömenden Luft Δ v ([math]v=v_1[/math] und [math]v_2=v+\Delta v[/math])

[math]P=\left(v+\frac{\Delta v}{2}\right)F_{Schub}[/math]

Bei gegebenem Schub nimmt die benötigte Leistung mit der Geschwindigkeit des Flugzeuges und mit der Geschwindigkeitsdifferenz der durchströmenden Luft zu. Die geschwindigkeitsbedingte Leistungszunahme lässt sich nicht vermeiden. Um die Leistung und damit den Treibstoffverbrauch möglichst klein zu halten, baut man heute Triebwerke, die möglichst viel Luft bei geringem Geschwindigkeitszuwachs fördern. Heutige Turbofan-Triebwerke leiten deshalb bis zu 90% der zuströmenden Luft um das eigentliche Triebwerk herum (Nebenstromverhältnis bis 9:1).

Rakete

Eine Rakete tauscht Impuls über das ausströmende Gas, das Gravitationsfeld und die Oberfläche (Luftwiderstand) aus. Wählt man die positive Richtung der z-Achse nach oben, lautet die Impulsbilanz für eine senkrecht hinauf fliegende Rakete

[math]F_W+mg+I_{pz}=\dot p_z[/math]

wobei sowohl der Luftwiderstand als auch die Gravitationsfeldstärke negative Werte annehmen. Der Impulsinhalt der Rakete kann über das Kapazitivgesetz umgeschrieben werden

[math]\dot p_z=\dot{(m v_z)}=\dot m v_z+m\dot v_z[/math]

Der konvektive Impulsstrom ist gleich der Geschwindigkeit des Gases mal die Massenstromstärke. Die Impulsbilanz lautet demnach wie folgt

[math]F_W+mg+v_{Gas}I_m=\dot m v_z+m\dot v_z[/math]

Ersetzt man die Geschwindigkeit des Gases durch die Geschwindigkeit der Rakete und die Ausströmgeschwindigkeit des Gases (v_Gas = v_z - c) und nimmt noch die Massenbilanz (I_m = dm/dt) dazu, vereinfacht sich die Gleichung zu

[math]F_W+mg-cI_m=m\dot v_z[/math]

Der Ausdruck -c I_m heisst oft Schubkraft. Mit dieser Bezeichnung nimmt die Impulsbilanz die Form des Aktionsprinzips von Newton an. Diese Lesart ist natürlich unsinnig, da die Newtonmechanik nicht direkt auf offene Systeme angewendet werden kann. Zudem nimmt der Impulsinhalt der Rakete anfänglich zu, um gegen Schluss des Brennvorgangs, dann wenn die Raketengeschwindigkeit grösser als die Ausströmgeschwindigkeit wird, wieder abzunehmen. Die Beschleunigung der Rakete ist dagegen immer positiv, also nach oben gerichtet ist.

Lässt man die Wirkung der Luft weg, ist die Beschleunigung gleich der Summe aus Gravitationsfeldstärke und Ausströmgeschwindigkeit mal Änderungsrate der spezifischen Masse

[math]\dot v_z=g-c\frac{\dot m}{m}[/math]

Unter Vernachlässigung der höhenbedingten Änderung der Gravitationsfeldstärke (g = -g₀) lässt sich diese Gleichung integrieren

[math]v_e=v_a+c\ln\left(\frac{m_e}{m_a}\right)-g_0 t=v_a+c\ln\left(\frac{m_R}{m_R+m_T}\right)-g_0 t[/math]

Der Index e steht für Ende, a für Anfang, T für Treibstoff und R für Rakete ohne Treibstoff. Die Rakete fliegt umso schneller, je grösser die Relativgeschwindigkeit des ausströmenden Gases ist und je mehr Brennstoffe die Rakete im Verhältnis zur Restmasse geladen hat. Weil die Gravitation eine überlagerte Fallbewegung erzeugt, sollte die Brennzeit der Rakete möglichst kurz gehalten werden.

gebogenes Rohr

Oberflächenkräfte sind Impulsströme bezüglich eines Systems. Umgekehrt darf die Stärke eines konvektiven Impulsstromes bezüglich eines abgegrenzten Systems auch als Kraft eingezeichnet werden

[math]\begin{pmatrix}I_{px}\\I_{py}\\I_{pz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}I_m=\begin{pmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{pmatrix}[/math]

Weil beim Eintritt die Stärke des Massenstromes positiv ist, zeigt der Kraftpfeil in Richtung der Strömungsgeschwindigkeit. Beim Austritt ist der Kraftpfeil infolge negativen Massenstromes gegen die Strömungsgeschwindigkeit gerichtet. Folglich zeigen sowohl die Ersatzkräfte des konvektiven Impulsstromes als auch die Druckkräfte immer ins frei geschnittene Rohrstück hinein.

Gilt es, die Kraft zu bestimmen, mit der ein gekrümmtes Stück einer Rohrleitung festgehalten werden muss, schneidet man das Rohrstück - wie in der Statik üblich - frei. Dabei werden in beiden Schnittebenen je eine Druckkraft (Überdruck mal Fläche) und eine Ersatzkraft für die Stärke des konvektiven Impulstransportes eingezeichnet. Bei einer stationären Strömung muss dann die Festhaltekraft die Summe aus diesen vier Kräften kompensieren.

Hubschrauber

Gemässe einer Überlegung von William Froude darf die durch einen Propeller erzeugte Strömung in erster Näherung analog zum Strahltriebwerk modelliert werden. Der Propeller wird dabei als dünne Scheibe gesehen, die den Luftstrom über eine Druckdifferenz mit Energie belädt. Die Strömungsgeschwindigkeit in der Propellerebene v₀ ist gleich dem Mittelwert aus Anströmung v₁ und Abströmung v₂. Geht man von einem ruhenden Hubschrauber (v₁ = 0) aus, ist die Kraft des Propellers gleich

[math]F=(v_2-v_1)I_m=\Delta v \varrho A v_0=2\varrho A v_0^2=\frac {1}{2} \varrho A v_2^2[/math]

und die minimale Leistung

[math]P=\frac{v_2+v_1}{2}F=2\varrho A v_0^3=\frac {1}{2} \varrho A v_2^3[/math]

Bei einem Hubschrauber sind grössere Rotoren, welcher mehr Luft weniger stark beschleunigen, effizienter. Befindet sich der Hubschrauber nur wenig über Boden, wird der Abstrom behindert (Bodeneffekt). Der gravitativ in den Hubschrauber hinein fliessende Impuls geht dann zum Teil leitungsartig über die Luft an den Boden weg, was energetisch günstiger ist.

dynamischer Auftrieb

Starrflügelflugzeuge geben den gravitativ zufliessenden Impuls über die Flügel an den die umgebende Luft ab. Die dabei auftretenden Effekte sind recht komplex und die zugehörigen Gleichungen (Impuls- und Energiebilanz) können nur mit Hilfe aufwändiger Berechnungsmethoden gelöst werden. Eine Modellierung, die viele Aspekte erklärt, stammt von Martin Wilhelm Kutta und Nikolai Jegorowitsch Schukowski (auch Joukowski, Zhoukovski oder englisch Zhukovsky genannt). In diesem Modell wird angenommen, dass die Umströmung des Flügels in eine Potenzialströmung und eine Zirkulationsströmung zerlegt werden darf. Ursache der Zirkulation ist die sich im hinteren Teil des Flügels bildende Wirbelstrasse. Weil die Zirkulation anders als beim Flettner-Rotor nicht durch eine Rotation der Flügel, sondern durch die Wirkung der Wirbelstrasse, welche die Umströmung der Hinterkante verhindert, erzeugt wird, nennt man die Zirkulation induziert. Die Überlagerung von Anströmung und Zirkulation erzeugt an der Oberfläche des Flügels eine ungleiche Druckverteilung, was zu einer resultierenden Kraft auf den Flügel, dynamischer Auftrieb genannt, führt.

Nimmt man als Bilanzgrenze die Flügeloberfläche, geht der Impuls leitungsartig (Druckkraft) an die Luft weg. Zieht man die Bilanzgrenze weiter aussen, hat die vorbeiströmende Luft eine gewisse Ähnlichkeit mit einer Rohrströmung. Die vorbeiziehende Luft wird etwas nach unten abgelenkt und gibt dabei Impuls an den Flügel ab. Diese Modellvorstellung kann man zur Erklärung einiger Phänomene beiziehen. Man muss sich aber bewusst sein, dass es kein Bilanzgebiet gibt, bezüglich dessen das einfach Modell der Rohrströmung in guter Näherung zutrifft.

Kontrollfragen

Formulieren Sie die Impulsbilanz für ein offenes System?
Woher bezieht das Strahltriebwerk den Impuls, den es in Form einer Schubkraft an das Flugzeug abgibt?
Wieso sollte ein Strahltriebwerk die Geschwindigkeit der durchströmenden Luft möglichst wenig erhöhen?
Wieso sollte eine Rakete das Gas mit möglichst hoher Geschwindigkeit nach hinten wegschicken?
Wie berechnet man die Kraft, mit welcher ein Feuerwehrmann das Strahlrohr festhalten muss?
Wie berechnet man die Kraft des Wasserstrahls auf einen Demonstranten?
Ein Hubschrauber überfliegt ein Gebiet. Wie fliesst der Impuls, der vom Gravitationsfeld in den Hubschrauber gedrückt wird (Gewichtskraft) an den Boden weg?

Antworten zu den Kontrollfragen

Die Summe über alle Oberflächenkräfte, die Gravitationskraft (Masse mal Gravitationsfeldstärke) und die Stärken der konvektiven Impulsströme ist gleich der Änderungsrate des Impulsinhalts.
Das Strahltriebwerk entzieht den Impuls der durch strömenden Luft. Die Impulsänderungsrate des Luftstroms (Schubkraft) ist gleich Stärke des Massenstromes mal Geschwindigkeitsdifferenz.
Die Leistung, welche das Triebwerk an den Luftstrom abgibt, ist proportional zur Schubkraft und proportional zur mittleren Relativgeschwindigkeit. Wird die Schubkraft mit einem grossen Massenstrom und einer kleinen Geschwindigkeitsänderung im Luftstrom erzeugt, ist die vom Triebwerk abgegebene Leistung entsprechend gering.
Je schneller die Gase ausströmen, desto mehr spezifischen Impuls nehmen sie mit (die "Schubkraft" der Rakete ist gleich Ausströmgeschwindigkeit mal Massenstrom). Weil die Rakete nur eine bestimmte Menge an Treibstoff mitführen kann, muss sie diesen mit möglichst grosser Geschwindigkeit nach hinten weg stossen. Diese Ausströmgeschwindigkeit hängt hauptsächlich von der Reaktionsenthalpie der Brennstroffe ab.
Die Kraft, mit welcher der Feuerwehrmann das Strahlrohr festhalten muss, hängt von der geometrischen Anordnung ab. Wird das Wasser im Schlauch von unten zugeführt und vor oder im Strahlrohr in horizontale Richtung abgelenkt, ist die Kraft des Feuerwehrmanns gleich der Stärke des vom Wasser abgeführten Impulsstromes (Geschwindigkeit mal Stärke des Massenstromes).
Das auftreffende Wasser gibt praktische seinen ganzen Impuls an den Demonstranten ab. Folglich ist die Kraft auf den Demonstranten gleich Stärke des Massenstromes mal Auftreffgeschwindigkeit. Der Teil des Wassers, der zurück geworfen wird, erhöht die Kraft auf den Demonstranten.
Der vom Gravitationsfeld in den Hubschrauber hinein fliessende Impuls verlässt diesen leitungsartig über die Oberfläche der Rotorblätter (Druckdifferenz). Im Nahbereich des Rotors strömt ein Teil dieses Impulses zusammen mit der bewegten Luft nach unten. Weit unterhalb des Hubschraubers fliesst dieser Impuls nur noch leitungsartig durch die ruhende Luft und erzeugt eine leichte Druckerhöhung.

Materialien

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014

Physik und Systemwissenschaft in Aviatik