Hydrodynamik

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Gebiet

Die Hydrodynamik beschäftigt sich mit den dynamischen Prozessen in hydraulischen Systemen (Blutkreislauf, hydraulisches Kraftwerke, Baumaschinen und vielen andern). In der Hydrodynamik werden die grundlegenden Strukturen der Physik der dynamischen Systeme formuliert und so eingeübt, dass sie auf die Elektrodynamik, die Translations- und Rotationsmechanik sowie die Thermodynamik übertragen werden können.

Die Hydrodynamik beschreibt die Speicher- und Transportvorgänge der flüssiger Stoffe, die zugehörigen Gesetzen und die Rolle der Energie. Das Eigenvolumen der Flüssigkeiten liefert die bilanzierfähige Primärgrösse und der Druck steht für das zugehörige Potenzial. Die Hydrodynamik ist eine Dualform zur Translationsmechanik: das hydrodynamische Potenzial, der Druck, ist eine spezielle Form der Impulsstromdichte und das translationsmechanische Potenzial, die Geschwindigkeit, beschreibt die Volumenstromdichte. Diese Dualform hat zur Folge, dass die Masse in der Hydrodynamik induktiv und in der Translationsmechanik kapazitiv wirkt. Die Elastizität sorgt in der Hydrodynamik für ein kapazitives und in der Translationsmechanik für ein induktives Verhalten der einzelnen Systeme. Die Dualform ist asymmetrisch, weil sich das Volumen wie ein Skalar, der Impuls aber wie ein Vektor transformiert. Folglich ist das hydrodynamische Potenzial, der Druck, ebenfalls ein Skalar und das translatorische Potenzial, die Geschwindigkeit, ein Vektor. Bei den Stromdichten verschiebt sich die geometrische Struktur um eine Stufe: die Geschwindigkeit, die Volumenstromdichte, ist ein Vektor oder Tensor 1. Stufe und der (negative und transponierte) Spannungstensor, die Impulsstromdichte, ein Tensor 2. Stufe.

Die grosse Bedeutung der Hydrodynamik für das Verständnis dynamischer Prozesse wird noch viel zu wenig erkannt. Wohl gibt es entsprechende Physikkurse wie etwa die Physik für Mediziner, doch fehlt meistens der Hinweis auf die zugehörige theoretische Basis. Zudem werden die sich daraus ergebenden didaktischen Möglichkeiten in Bezug auf die Translations- und Rotationsmechanik sowie die Thermodynamik nicht erkannt und demzufolge auch nicht ausgeschöpft.

Struktur

Bilanz

Die Volumenbilanz, das Rückgrat eines jeden hydrodynamischen Modells, lernt man schon in der Volksschule in Form von Rechenaufgaben kennen: in einen Brunnen ergiesst sich das Wasser von drei Röhren (20 l/min, 30 l/min und 50 l/min). Wie lange dauert es, bis der leere Trog mit zwei Kubikmetern Wasser gefüllt ist. Dieser Aufgabentyp ist erweiterbar, indem man noch einen Abfluss einfügt oder nach der Füllhöhe bei gegebener Grundfläche fragt.

Unter einer Bilanz versteht man in der Physik der dynamischen Systeme immer die Momentanbilanz, die Bilanz zu einem gewissen Zeitpunkt. Die Bilanzgleichung lautet dann:

Die Summe über alle Volumenstromstärken plus die Volumenproduktionsrate ist gleich der Volumeninhaltsänderungsrate

In dieser Formulierung müssen zufliessende Ströme positiv und abfliessende negativ gezählt werden. Mit der Produktionsrate beschreibt man die Volumenänderung infolge Druckänderung. Bei der Kompression nennt man die Produktionsrate Vernichtungsrate, bei Dekompression heisst sie Erzeugungsrate. Die Bilanz wird im jeweiligen Modell über die Zeit aufintegriert (aufsummiert).

In vielen Modellen darf die Produktionsrate gleich Null gesetzt werden. Bezüglich einer Verzweigungen reduziert sich die Volumenbilanz auf den Knotensatz, falls das Volumen erhalten bleibt, falls die Kompressibilität vernachlässigt wird.

konstitutive Gesetze

Feder- oder Blasenspeicher verhalten sich kapazitiv, wobei der Federspeicher in seinem Arbeitsbereich ein lineares Verhalten zeigt, der Blasenspeicher dagegen als nichtlinearer Speicher arbeitet. Zylinderförmige Gefässe sind linear, alle andern zeigen ein nichtlineares Verhalten.

Rohrleitungen, Filter und Ventile wirken resistiv. In dünnen Röhrchen, in kompakten Filtern, bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten oder einem zähen Stoff mit geringer Dichte, fliesst das Medium laminar, in Wasserleitungen dagegen meist turbulent. Bezüglich des Umschlags von laminar nach turbulent kann für jedes Leitungsstück mit gegebener Flüssigkeit eine kritische Volumenstromstärke angegeben werden. Der laminare Widerstand verhält sich linear, d.h. der Druckunterschied wächst proportional zur Volumenstromstärke. Die turbulente Strömung kann mit Hilfe eines quadratischen Gesetzes näherungsweise beschrieben werden.

Die Trägheit der Flüssigkeit sorgt für ein induktives Verhalten. Die Induktivität eines hydraulischen Systems beschreibt den Zusammenhang zwischen der Änderungsrate der Stromstärke und dem dabei auftretenden Druckunterschied zwischen den beiden Anschlüssen. Grosse Wasserleitungen sollten mit einer Kapazität gegen den plötzlichen Druckanstieg geschützt werden, sobald man den Volumenstrom schnell unterbrechen kann.

Rolle der Energie

Einem Volumenstrom kann über den Druck ein Energiestrom zugeordnet werden:

Stromstärke des zugeordneten Energiestromes gleich Druck mal Volumenstromstärke

Die Stärke des Energiestromes hängt demnach vom Bezugsdruck ab: bezieht man den Druck auf das Vakuum, sind alle zugeordneten Energieströme stärker, als wenn man den Druck gegen die Umgebung misst. Diese Freiheit oder Willkür bei der Wahl des Potenzialnullpunktes tritt in vielen Gebieten der Physik der dynamischen Systeme auf. Damit die Energiebilanz konsistent bleibt, muss der Druck immer auf den das gleiche Reverenzsystem bezogen werden.

Der zugeordnete Energiestrom steckt nicht in Form von elastischer Energie in der Flüssigkeit oder dem Gas drin. Verhält sich der Stoff elastisch, ist die Flüssigkeit also kompressibel, muss die mittransportierte innere Energie des Mediums zusätzlich bilanziert werden.

Fliesst ein Volumenstrom über ein Leitungssystem, bei dem am Eingang einer anderer Druck herrscht als am Ausgang, wird Energie umgesetzt (den Energieumsatz pro Zeit nennt man Prozessleistung):

Prozessleistung gleich Druckdifferenz mal Volumenstromstärke

Liegt der Druck am Ausgang tiefer als am Eingang, setzt der Volumenstrom Energie frei. Damit der Volumenstrom gegen das Druckgefälle fliesst, muss man ihm Energie zuführen.

Beispiel

formale Beschreibung

Gesetz Formel Einheiten Bemerkung
Volumenbilanz Σi IVi + ΣV = dV/dt m3/s = m3/s inkompressibel: ΣV = 0
Kapazität ΔV = CV Δp m3 = m3/Pa Pa allgemein: dV = CV(p) dp
Gefäss CV = A/(ρ g) m3/Pa = m2/(kg/m3 N/kg) für beliebige Gefässe
Federspeicher CV = A2/D m3/Pa = m4/(N/m) D Gesamtrichtgrösse
Blasenspeicher p = p0 (Vmax / (Vmax - V)) Pa = Pa p0: Anfangsabsolutdruck
laminar Δp = RV IV Pa = Pas/m3 m3/s RV: Widerstand
Rohrstück RV = 128 Länge η / (π d4) Pas/m3 = m Pas / m4 η: Viskosität
turbulent Δp = kV abs(IV) IV Pa = Pas2/m6 m3/s kV: Widerstandsbeiwert
Armatur kV = ζ ρ / (2 A2) Pas/m3 = m Pas / m4 ζ: Verlustziffer
Rohrstück kV = 8 λ Länge ρ / (π2d5) Pas/m3 = m Pas / m4 λ: Rohrreibungszahl, ζRohr = λ (Länge/d)
induktives Gesetz Δp = LV dIV/dt Pa = Pas2/m3 m3/s2
Rohrstück LV = ρ Länge / A Pas2/m3 = kg/m3 m / m2 homogene Strömung
zugeordneter Energiestrom IW = p IV W = Pa m2/s nicht in Flüssigkeit enthalten
Prozessleistung P = Δp IV W = Pa m2/s Umsatz über Stromglied

Anwendungsgebiete