Widerstand und Speicher

Schema der Hydraulik beim A340

Der Airbus A340 besitzt drei unabhängige Hydraulikkreise (Betriebsdruck 3000 psi oder 207 bar), die mit blau (blue), grün (green) und gelb (yellow) bezeichnet werden. Das nebenstehend abgebildete Schema zeigt, wie die drei Hydrauliksysteme mit Energie beladen werden. Das grüne System wird von zwei Triebwerken, einer elektrischen Pumpe und einer Windturbine, Ram Air Turbine (RAT) genannt, mit Energie versorgt. Ein weiteres Triebwerk und bei Ausfall desselben eine elektrische Pumpe beladen das blaue System mit Energie. Das gelbe System bekommt seine Energie vom vierten Triebwerk und einer elektrischen Pumpe. Im Normalfall beladen nur die Triebwerke die hydraulischen Systeme mit Energie. Mit der Handpumpe des gelben Systems kann notfalls die Gepäckraumtür geöffnet werden. Jede Operation, wie z.B. das Fahrwerk ausfahren, lässt sich von zwei hydraulischen Systemen ausführen. Diese Redundanz dient der Sicherheit.

Ein Teil der Energie wird in den Leitungen dissipiert. Zudem besitzt jedes System mindestens einen Hydraulikspeicher (Accumulator), der kurzfristig Energie liefern kann und die Druckspitzen glättet. Mit je einer Eigenschaft der Leitungen und der Speicher, dem Widerstand bzw. der Kapazität, wollen wir uns in dieser Vorlesung beschäftigen.

Lernziele

In dieser Vorlesung werden Sie lernen

• worin der Unterschied zwischen laminarer unnd turbulenter Strömungen besteht
• wie bei laminarer und bei turbulenter Strömung die Druckdifferenz mit dem Volumenstrom zusammenhängt
• wie man parallel und seriell geschaltete Widerstände rechnerisch zusammenfasst
• wie die dissipierte Leistung berechnet wird
• wie die Kapazität eines Speichers definiert ist
• wie man die hydraulisch gespeicherte Energie berechnet

Widerstand

Jeder Leitungsabschnitt, jedes Ventil und alle Verzweigungen (Knoten) wirken dem Ölstrom entgegen. Der Druck fällt in all den Leitungen und Armaturen ab, sobald Öl hindurch fliesst. Das Verhältnis aus Druckabfall zu Volumenstrom nennt man Widerstand.

laminar und turbulent

Rohrströmung

Eine Flüssigkeit, die langsam durch ein Rohr strömt, bewegt sich in der Rohrmitte am schnellsten. An der Rohrwand bleibt die Flüssigkeit haften (Benetzung). Dazwischen schieben sich die einzelnen Schichten wie die Häute einer zylinderförmigen Zwiebel übereinander. Dieses Strömungsverhalten nennt man laminar. Einfach strukturierte Flüssigkeiten, sogenannte Newtonsche Fluide, bilden bei laminarer Strömung durch ein zylinderförmiges Rohr ein parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil. Erhöht man den Durchsatz, beginnen sich einzelne Wirbel zu bilden. Mit zunehmendem Volumenstrom treten immer mehr Wirbel auf, bis sich die Strömung völlig chaotisch verhält.

linear und quadratisch

In einer laminar strömenden Flüssigkeit nimmt die Druckdifferenz über einem bestimmten Rohrstück proportional mit der Stärke des Volumenstroms zu. Diesen Proportionalitätsfaktor nennen wir Strömungswiderstand und bezeichnen ihn mit R_V

[math]\Delta p = R_V I_V[/math]

Bei einer turbulenten Strömung steigt die Druckdifferenz quadratisch mit der Volumenstromstärke. Bezeichnen wir den Proportionalitätsfaktor mit k, kann das turbulente Widerstandsverhalten mit einer einfachen Formel beschrieben werden

[math]\Delta p = k I_V^2[/math]

Der Strömungswiderstand R_V hat die Einheiten Pas/m³, der turbulente Faktor k wird in Pas²/m⁶ gemessen.

laminares und quadratisches Gesetz

In erster Näherung darf man nun behaupten, dass die Strömung in einem Rohr so lange laminar bleibt, bis der turbulente Druckabfall über einem Rohr grösser wird als der laminare. Sobald dies eintritt, schlägt die Strömung von laminar auf turbulent um. Diese Bedingung liefert einen - etwas ungenauen - Wert für den kritischen Strom

[math]I_{V_{krit}} = \frac {R_V}{k}[/math]

bzw. den kritischen Druck

[math]\Delta p_{krit} = \frac {R_V^2}{k}[/math]

Der Umschlag von laminar auf turbulent erfolgt nicht genau bei einer ganz bestimmten Volumenstromstärke. Die Strömung wird vielmehr in einem gewissen Bereich immer chaotischer. Je dichter die Flüssigkeit und je weiter das Rohr ist, desto früher schlägt die Strömung um. Die Viskosität der Flüssigkeit verzögert den Übergang von laminar zu turbulent.

Sowohl der Widerstand als auch der Faktor k der turbulenten Strömung können bei einem langen Rohr mit Hilfe einer Formel berechnet werden. Für kompliziertere Leitungsabschnitte existieren weitere Berechnungsformeln oder Erfahrungswerte. Heute lassen sich diese Grössen für die unterschiedlichsten Geometrien mit Hilfe eines Rechenprogrammes (Computational Fluid Dynamics) ermitteln.

Serieschaltung

Serie- und Parallelschaltung

Fliesst der gleiche Ölstrom nacheinander durch verschiedene Leitungsabschnitte oder Armaturen, fällt der Druck über jedem Element ab. Fasst man die so in Serie geschalteten Elemente zu einem einzigen System zusammen, ist die gesamte Druckdifferenz gleich der Summe der einzelnen Druckänderungen. Folglich darf man dem Gesamtsystem einen Widerstand zuschreiben, der gleich der Summe der Einzelwiderstände ist

[math]R_{V_{tot}} = \sum_i R_{V_i}[/math]

Diese Überlegung gilt auch bei turbulenter Strömung

[math]k_{tot} = \sum_i k_i[/math]

Parallelschaltung

Parallel geschaltete Leitungen lassen mehr Öl durch als eine einzelne. Entsprechend kleiner ist der Gesamtwiderstand. Fasst man mehrere Leitungsabschnitte, die sowohl am Eingang als auch am Ausgang miteinander verbunden sind, zu einem Gesamtsystem zusammen, ist der durchfliessende Volumenstrom gleich der Summe aller Einzelströme. Die Druckdifferenz, die über allen Abschnitten gleich gross ist, überträgt sich auf das Gesamtsystem. Nun gilt

[math]\frac {I_V}{\Delta p} = \frac {1}{R_V} = \frac {\sum_i I_{V_i}}{\Delta p} = \sum_i \left(\frac {1}{R_{V_i}}\right)[/math]

Bei Parallelschaltung ist der Reziprokwert des Strömungswiderstandes eines Gesamtsystems gleich der Summe über alle Reziprokwerte der Einzelwerte. Der Gesamtwiderstand ist damit kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

Bei turbulenter Strömung kann eine ähnliche Überlegung angestellt werden: der Gesamtvolumenstrom ist gleich der Summe aller Einzelströme und der Druckabfall bleibt beim Gesamtsystem gleich wie bei jedem Element. Nur gilt hier das quadratische Widerstandsgesetz. Folglich erhält man eine andere Additionsvorschrift

[math]\frac {1}{\sqrt{k}} = \sum_i \left(\frac {1}{\sqrt{k_i}}\right)[/math]

dissipierte Leistung

Leistung bei turbulenter Strömung

Der Ölstrom setzt immer dann Prozessleistung frei, wenn der Druck über einer bestimmten Strecke abfällt. Vermindert sich der Druck infolge Reibung, wird die Energie dissipiert. Bei der Dissipation sagt man oft, dass die Energie verloren geht oder sogar vernichtet wird. Nun kann Energie weder verloren gehen noch vernichtet werden. Die Energie wird vielmehr auf den Träger Entropie umgeladen. Diese Entropie wird direkt im Reibungsvorgang erzeugt. In der Umgangssprache sagen wir dann oft, dass durch Reibung Wärme entsteht.

Die Prozessleistung ist - wie Sie in der letzten Vorlesung gehört haben - gleich Druckdifferenz mal Volumenstromstärke. Setzt man das lineare Widerstandsgesetz ein, erhält man

[math]P_{diss} = \Delta p I_V = R_V I_V^2[/math]

In einer turbulenten Strömung wächst die dissipierte Leistung sogar mit der dritten Potenz der Volumenstromstärke

[math]P_{diss} = \Delta p I_V = k I_V^3[/math]

In hydraulischen Systemen strömt das Öl in der Regel laminar. Verdoppelt man nun bei einer hydraulischen Leitung den Durchsatz, vervierfacht sich die dissipierte Prozessleistung bei doppeltem Druckabfall. Bei Wasserleitungen kann man davon ausgehen, dass die Strömung turbulent ist. Diese Turbulenzen hört man im ganzen Haus, wenn jemand morgens um vier Uhr duscht. Verdoppelt man bei einer Wasserleitung den Durchsatz, verachtfacht sich die Prozessleistung. Der Druckabfall beträgt dann das Vierfache. Das weiss auch die Feuerwehr. Weil der Motor einer Pumpe nur eine beschränkte Leistung abzugeben vermag, kann eine einzige Transportleitung nur eine ganz bestimmte Wassermenge zum Brandherd befördern.

Speicher

Reine Leitungsnetze, die nur Energie übertragen, aber nicht speichern können, sind oft instabil. Um die Stabilität zu erhöhen, werden zusätzliche Speicher angebracht. In hydraulischen Systemen setzt man Feder- und Blasenspeicher ein.

Speicher findet man in allen Zweigen der Physik. Die Tabelle gibt einen Überblick über häufig verwendete Speicher

Gebiet	Objekt	Menge	Potenzial
Hydrodynamik	Blasenspeicher	Volumen	Druck
Elektrodynamik	Kondensator	Ladung	elektrisches Potenzial
Translationsmechanik	Hammer	Impuls	Geschwindigkeit
Rotationsmechanik	Schwungrad	Drehimpuls	Winkelgeschwindigkeit
Thermodynamik	Wärmespeicher	Entropie	Temperatur

In der Umgangssprache nennt man den Impuls oft Schwung oder Wucht, den Drehimpuls Drall und die Entropie Wärme.

Kapazität

Der Begriff Kapazität (lat.: capacitas = „Fassungsvermögen“) bezeichnet ganz unterschiedliche Eigenschaften wie die Speicherfähigkeit einer Harddisk (Speicherkapazität), den maximaler Durchsatz bei einer Datenleitung (Kanalkapazität), oder einfach das Fassungsvermögen eines Gefässes. In der Physik versteht man unter der Kapazität die Fähigkeit, möglichst viel Menge bei möglichst geringer Änderung des Potenzials zu speichern. Die hydraulische Kapazität eines Speichers ist deshalb gleich der Volumenänderung dividiert durch die damit verbundene Druckänderung

[math]C_V = \frac {\Delta V}{\Delta p}[/math]

Eine grosse Kapazität bedeutet demnach, dass ein Speicher viel Flüssigkeit aufnehmen kann, ohne dass der Druck stark ansteigt. Die Einheit der hydraulischen Kapazität ist m³/Pa. Weil der Kubikmeter eine grosse und das Pascal eine sehr kleine Einheit ist, sind die Zahlenwerte für die Kapazität oft sehr klein.

konstante Kapazität

Blasenspeicher

Zylinderförmige Gefässe und federbelastete Speicher weisen eine Kapazität auf, die nicht vom Füllstand abhängt. In der Systemdynamik zählt man diese Speicher zu den linearen Elementen. Ist die Kapazität bekann, kann aus der Druckänderung die Volumenzunahme berechnet werden

[math]\Delta V = C_V \Delta p[/math]

nichtlineare Speicher

Blasenspeicher sind nichtlinear. Im Praktikum werden wir PET-Flaschen als Blasenspeicher einsetzen. Wird eine PET-Flasche nicht zu schnell mit Wasser gefüllt, gehorcht die eingeschlossene Luftblase dem Gesetz von Boyle-Mariotte, wonach das Produkt aus Absolutdruck und Volumen der Luftblase konstant bleibt; Druck und Volumen verhalten sich umgekehrt proportional zueinander. Überträgt man dieses Verhalten auf das Wasser, erhält man das folgende Speicherverhalten

[math]p = p_0 \frac {V_0}{V_0 - V}[/math]

V steht für das in der Petflasche gespeicherte Wasservolumen, p₀ entspricht dem Luftdruck und mit V₀ ist das gesamte Fassungsvermögen der PET-Flasche gemeint (eine Literflasche kann etwas mehr als einen Liter aufnehmen).

gespeicherte Energie

Ein hydraulischer Speicher nimmt neben Volumen auch noch Energie auf. Die aufgenommene Energie wird als zugeordneter Energiestrom zusammen mit dem Volumenstrom in den Speicher hinein transportiert. Folglich kann die gespeicherte Energie analog zum gespeicherten Volumen über den Zufluss berechnet werden. Dazu summiert (integriert) man bei anfänglich leerem Speicher den zugeordneten Energiestrom über die Zeit auf. Die gespeicherte Energie hängt damit wie der zugeordnete Energiestrom vom Bezugspunkt des Drucks ab. Je nach Problemstellung bezieht man diese Energie auf Vakuum oder auf die Umgebung.

konstante Kapazität

I_V-p-t-Schaubild

Fliesst ein konstanter Volumenstrom in einen leeren Speicher, steigt der Druck stetig an. Im Volumenstrom-Druck-Zeit-Schaubild erscheint dieser Prozess als Prisma. Das Volumen dieses Prismas entspricht der zugeführten bzw. gespeicherten Energie. Zudem ist die eine Seitenfläche des Prismas gleich dem geflossenen bzw. gespeicherten Volumen. Die Grundfläche des Prismas nimmt die Form eines Dreiecks an, falls die Kapazität konstant und der Anfangsdruck gleich Null ist. In diesem Fall ist die zugeflossene Energie gleich dem Volumen eines Keils mit der Grundfläche V und der Höhe p

[math]W=\frac{1}{2}pV=\frac{1}{2}C_Vp^2=\frac{1}{2C_V}V^2[/math]

Der erste Ausdruck in dieser Formel kann direkt interpretiert werden: das Volumen ist im Mittel bei halbem Druck in den Speicher transportiert worden. Beim zweiten Term ist das Volumen und beim dritten der Druck mit Hilfe des kapazitiven Gesetzes eliminiert worden.

Ein federbelasteter Hydraulikspeicher verhält sich liniear, ist aber in der Regel vorgespannt. Der Druck beginnt dann nicht bei Null, sondern steigt von einem bestimmten Wert p₀ an hoch. Im Volumenstrom-Druck-Zeit-Schaubild erscheint die Energie bei konstantem Volumenstrom als abgeschnittener Keil

[math]W=p_{mittel}V=\frac{p+p_0}{2}V=\frac{p+p_0}{2}C_V(p-p_0)=\frac{C_V}{2}(p^2-p_0^2)[/math]

Diese Formel ist auch anzuwenden, wenn ein beliebiger Speicher mit konstanter Kapazität von einem Zustand mit dem Druck p₀ in einen andern mit dem Druck p überführt wird.

beliebiges Speicherverhalten

Ein Blasenspeicher oder eben eine Petflasche verhält sich nichtlinear. Drückt man immer mehr Wasser in eine PET-Flasche hinein, wird die Luftblase kleiner und der Druck steigt immer stärker an. Zur Berechnung der gespeicherte Energie gehen wir von der dynamischen zur statischen Betrachtungsweise über. In einem sehr kurzen Zeitintervall Δt transportiert der Volumenstrom die folgende Energiemenge

[math]\Delta W=I_W\Delta t=p I_V\Delta t = p\Delta V[/math]

p-V-Diagramm eines Ottomotors

Dieser Zusammenhang zwischen transportiertem Volumen und Energie überträgt sich auf den Zuwachs an Volumen und Energie im Speicher

[math]\Delta W=p\Delta V[/math]

Weil der Druck mit dem Volumen stetig ansteigt, muss dieser Zuwachs in kleinen Schritten berechnet werden. Zeichnet man nun das Verhalten eines Speichers in ein Druck-Volumen-Diagramm ein, erhält man eine Linie, die Speichercharakteristik genannt wird. In diesem Diagramm entspricht die Energiezunahme (Druck mal Volumenzuwachs) der Fläche eines kleinen Rechtecks. Denkt man sich den Ladevorgang in kleinen Schritten mit konstant gehaltenem Druck, erscheint die Energie als Fläche unter der zugehörigen "Treppe":

Die von einem Speicher aufgenommene Energie entspricht der Fläche unter dem p-V-Diagramm

Zylinderförmige Gefässe und federbelastete Speicher haben eine lineare Charakteristik. Im p-V-Diagramm nimmt die von diesen Elementen aufgenommene Energie die Form eines Dreiecks bzw. eines Trapezes an. Aus der Fläche des Dreieck erhält man die erste Formel dieses Abschnittes. Die zweite Formel ergibt sich aus dem Trapez.

mathematische Lösung

Wer wenig von Mathematik versteht, sollte auf alle Fälle die graphischen Zusammenhänge verstehen:

• das transportierte Volumen ist gleich der Fläche unter der Kurve im Volumenstrom-Zeit-Diagramm
• die transportierte Energie ist gleich der Fläche unter der Kurve im Energiestrom-Zeit-Diagramm
• die transportierte Energie ist gleich dem Volumen im Volumenstrom-Druck-Zeit-Schaubild
• die von einem Speicher aufgenommene Energie ist gleich der Fläche unter der Kurve im Druck-Volumen-Diagramm

Mathematisch lassen sich diese Aussagen alle als Integrale schreiben. Die von einem Speicher aufgenommene Energie ist gleich

[math]\Delta W = \int I_W dt = \int p I_V dt = \int p dV[/math]

Der Term rechts des ersten Gleichheitszeichen beschreibt die Fläche im Energiestrom-Zeit-Diagramm, der zweite Term das Volumen eines Körpers im Volumenstrom-Druck-Zeit-Schaubild und der letzte Term berechnet die Fläche im Druck-Volumen-Diagramm.

Kontrollfragen

1. Was passiert in einer Strömung beim Übergang von laminar zu turbulent?
2. Wie nimmt der Druck in einer laminaren Strömung mit dem Volumenstrom zu? Wie ist der Zusammenhang bei turbulenter Strömung?
3. Wie berechnet man den Ersatzwiderstand bei Serie- und Parallelschaltung von laminar oder turbulent durchströmenten Elementen?
4. Mit welcher Potenz der Volumenstromstärke steigt die dissipierte Leistung bei laminarer Strömung? bei turbulenter Strömung?
5. Wie ist die hydraulische Kapazität definiert?
6. Welche Speicher besitzen eine konstante Kapazität?
7. Wie berechnet man die hydraulisch frei setzbare Energie bei einem Speicher mit konstanter Kapazität und Anfangsdruck Null?
8. Wie bestimmt man die hydraulisch frei setzbare Energie aus der Charakteristik?

Antworten zu den Kontrollfragen

1. In einer langsam fliessenden Strömung gleiten die einzelnen Schichten übereinander weg. Dieses Verhalten nennt man laminar. Vergrössert man nun die Geschwindigkeit der Strömung, beginnen einzelne Schichten zuerst zu mäandrieren, um dann erste Wirbel zu bilden. In einzelnen Teilen des durchströmten Gebiets kann es sogar zu einer Umkehr der Strömungsrichtung kommen. Bei noch höherem Durchsatz beginnen die Wirbel zu dominieren, bis das ganze Gebiet in einem brodelnden Chaos versinkt. Diese von Wirbeln aller Grössen durchsetzte Strömung heisst turbulent.
2. Strömt eine Flüssigkeit laminar durch ein Rohr, steigt die Differenz zwischen dem Druck am Ein- und am Ausgang linear mit der Stärke des Volumenstromes an. Bei einer turbulenten Strömung nimmt die Druckdifferenz sogar quadratisch mit dem Durchsatz zu.
3. Der Ersatzwiderstand für eine Serieschaltung ist gleich der Summe der Einzelwiderstände. Bei der Parallelschaltung muss man zwischen laminarem und turbulentem Verhalten unterscheiden. Solange die Strömung laminar bleibt, ist der Reziprokwert des Ersatzwiderstandes gleich der Summe über alle reziproken Einzelwiderstände. Die turbulenten "Widerstände" werden ebenfalls reziprok addiert, nur müssen in diesem Fall die Wurzelwerte genommen werden.
4. Die dissipierte Leistung nimmt bei einer laminaren Strömung quadratisch, bei einer turbulenten mit der dritten Potenz des Volumenstromes zu.
5. Die hydraulische Kapazität ist als Quotient von Volumenzuwachs und zugehörigem Druckanstieg definiert.
6. Speicher, bei denen der Quotient aus Voumenzunahme und Druckanstieg nicht vom aktuellen Füllstand abhängt, besitzen eine konstante Kapazität. Dazu gehören zylindrische Gefässe und federbelastete Speicher.
7. Die hydraulisch freisetzbare Energie eines Speichers mit konstanter Kapazität ist gleich gespeichertes Volumen mal mittlerer Druck, oder gleich halbe Kapazität mal Enddruck im Quadrat, oder gleich gespeichertes Volumen im Quadrat durch die doppelte Kapazität.
8. Die hydraulisch freisetzbare Energie ist als Fläche unter der Kurve im p-V-Diagramm zu erkennen.

Materialien

• Skript Seiten 3 und 4
• Physik - Ein systemdynamischer Zugang für die Sekundarstufe II Seiten 36 - 39
• eLearning Teilmodule Widerstand und Kapazität

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