Widerstand und Speicher

Schema der Hydraulik beim A340

Der Airbus A340 besitzt drei unabhängige Hydraulikkreise (Betriebsdruck 3000 psi oder 207 bar), die mit blau (blue), grün (green) und gelb (yellow) bezeichnet werden. Das nebenstehend abgebildete Schema zeigt, wie die drei Hydrauliksysteme mit Energie beladen werden. Das grüne System wird von zwei Triebwerken, einer elektrischen Pumpe und einer Windturbine, Ram Air Turbine (RAT) genannt, mit Energie versorgt. Ein weiteres Triebwerk und bei Ausfall desselben eine elektrische Pumpe beladen das blaue System mit Energie. Das gelbe System bekommt seine Energie vom vierten Triebwerk und einer elektrischen Pumpe. Im Normalfall beladen nur die Triebwerke die hydraulische Systeme mit Energie. Mit der Handpumpe des gelben Systems kann notfalls die Gepäckraumtür geöffnet werden. Jede Operation, wie z.B. das Fahrwerk ausfahren, lässt sich von zwei hydraulischen Systemen ausführen. Diese Redundanz dient der Sicherheit.

Ein Teil der Energie wird in den Leitungen dissipiert. Zudem besitzt jedes System mindestens einen Hydraulikspeicher (Accumulator), der kurzfristig Energie liefern kann und die Druckspitzen glättet. Mit je einer Eigenschaft der Leitungen und der Speicher, dem Widerstand bzw. der Kapazität, wollen wir uns in dieser Vorlesugn beschäftigen.

Widerstand

Jeder Leitungsabschnitt, jedes Ventil und alle Verzweigungen (Knoten) wirken dem Ölstrom entgegen. Der Druck fällt überall ab, sobald Öl hindurch transportiert wird. Das Verhältnis aus Druckabfall zu Volumenstrom nennt man Widerstand.

laminar und turbulent

Eine Flüssigkeit, die langsam durch ein Rohr strömt, bewegt sich in der Rohrmitte am schnellsten. An der Rohrwand bleibt die Flüssigkeit haften (Benetzung). Dazwischen schieben sich die einzelnen Schichten wie die Häute einer zylinderförmigen Zwiebel übereinander. Dieses Strömungsverhalten nennt man laminar. Einfach strukturierte Flüssigkeiten, sogenannte Newtonsche Fluide, bilden bei laminarer Strömung ein parabelförmiges Geschwindigkeitsprofil. Erhöht man den Durchsatz, beginnen sich einzelne Wirbel zu bilden. Mit zunehmendem Volumenstrom treten immer mehr Wirbel auf, bis sich die Strömung völlig chaotisch verhält.

linear und quadratisch

In einer laminar strömenden Flüssigkeit, nimmt die die Druckdifferenz über einem bestimmten Rohrstück proportional mit der Stärke des Volumenstroms zu. Diesen Proportionalitätsfaktor nennen Strömungswiderstand und bezeichnen ihn mit R_V

[math]\Delat p = R_V I_V[/math]

Bei einer turbulenten Strömung steigt die Druckdifferenz quadratisch mit der Volumenstromstärke. Bezeichnen wir den Proportionalitätsfaktor mit einem k, kann das turbulente Widerstandsverhalten wie folgt beschrieben werden

[math]\Delat p = k I_V[/math]

Der Strömungswiderstand R_V hat die Einheiten Pas/m³, der turbulente Faktor k wird in Pas²/m⁶ gemessen.

In erster Näherung darf man nun behaupten, dass die Strömung in einem Rohr so lange laminar bleibt, bis der turbulente Druckabfall über einem Rohr grösser wird als der laminare. Sobald dies eintritt, schlägt die Strömung von laminar auf turbulent um. Diese Bedingung liefert einen Wert für den kritischen Strom

[math]I_{V_{krit}} = \frac {R_V}{k}[/math]

bzw. den kritischen Druck

[math]\Delta p_{krit} = \frac {R_V^2}{k}[/math]

Der Umschlag von laminar auf turbulent erfolgt aber nicht genau bei einer ganz bestimmten Volumenstromstärke. Der Übergang von erfolgt vielmehr schleichend in einem gewissen Strömungsbereich. Je dichter die Flüssigkeit und je weiter das Rohr ist, desto früher erfolgt der Umschlag. Die Viskosität der Flüssigkeit verzögert den Übergang von laminar zu turbulent. Bei einem langen Rohr kann man den Widerstand als auch den Faktor k der turbulenten Strömung berechnen.

Serieschaltung

Fliesst der gleiche Ölstrom nacheinander durch verschiedene Leitungsabschnitte oder Armaturen, fällt der Druck über jedem Element ab. Fasst man die so in Serie geschalteten Elemente zu einem einzigen System zusammen, ist die gesamte Druckdifferenz gleich der Summe der einzelnen Druckänderungen. Folglich darf man dem Gesamtsystem einen Widerstand zuschreiben, der gleich der Summe der Einzelwiderstände ist

[math]R_{V_{tot}} = \Sum_i R_{V_i}[/math]

Diese Überlegung gilt auch bei turbulenter Strömung

[math]k_{tot} = \Sum_i k_i[/math]

Parallelschaltung

Parallel geschaltete Leitungen lassen mehr Öl durch als eine einzige. Entsprechend kleiner ist der Gesamtwiderstand. Fasst man mehrere Leitungsabschnitte, die sowohl am Eingang als auch am Ausgang miteinander verbunden sind, zu einem Gesamtsystem zusammen, ist der durchfliessende Volumenstrom gleich der Summe aller Einzelströme. Die Druckdifferenz, die über allen Abschnitten gleich gross ist, überträgt sich auf das Gesamtsystem. Nun gilt

[math]\frac {I_V}{\Delta p} = \frac {1}{R_V} = \frac {\Sum_i I_{V_i}}{\Delta p} = \Sum_i \left(\frac {1}{R_{V_i}}\right)[/math]

Der Reziprokwert des Strömungswiderstandes eines Gesamtsystems ist bei Parallelschaltung gleich der Summe über alle Reziprokwerte der Einzelwerte. Der Gesamtwiderstand ist damit kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

Bei turbulenter Strömung kann eine ähnliche Überlegung angestellt werden: der Gesamtvolumenstrom ist gleich der Summe aller Einzelströme und der Druckabfall bleibt beim Gesamtsystem gleich wie bei jedem Element. Nur gilt das quadratische Widerstandsgesetz. Folglich erhält man eine ander Additionsvorschrift

[math]\frac {1}{k^2} = \Sum_i \left(\frac {1}{k_i^2}\right)[/math]

dissipierte Leistung

Strömt eine Flüssigkeit in einem Rohr nach oben oder muss sie bei einer Verengung schneller fliessen, wird der Druck kleiner, weil die Energie auf das Gravitationsfeld oder die Bewegung übertragen wird. Der Ölstrom setzt immer dann Prozessleistung frei, wenn der Druck über einer bestimmten Strecke abfällt. Vermindert sich der Druck infolge Reibung, wird die Energie dissipiert. Bei der Dissipation sagt man oft, dass die Energie verloren geht oder sogar vernichtet wird. Nun kann Energie weder verloren gehen noch vernichtet werden. Die Energie wird vielmehr auf den Träger Entropie umgeladen. Diese Entropie wird direkt im Reibungsvorgang erzeugt. In der Umgangssprache sagen wir dann oft, dass durch Reibung Wärme entsteht.

Die Prozessleistung ist - wie Sie in der letzten Vorlesung gehört haben - gleich Druckdifferenz mal Volumenstromstärke. Setzt man das lineare Widerstandsgesetz ein, erhält man

[math]P_{diss} = \Delta p I_V = R_V I_V^2[/math]

Bei turbulentem Strömungsverhalten wächst die dissipierte Leistung sogar mit der dritten Potenz der Volumenstromstärke

[math]P_{diss} = \Delta p I_V = k I_V^3[/math]

In hydraulischen Systemen strömt das Öl in der Regel laminar. Verdoppelt man nun bei einer hydraulischen Leitung den Durchsatz, vervierfacht sich die dissipierte Prozessleistung bei doppeltem Druckabfall. Bei Wasserleitungen kann man davon ausgehen, dass die Strömung turbulent ist. Diese Turbulenzen hört man im ganzen Haus, wenn jemand morgens um vier Uhr duscht. Verdoppelt man bei einer Wasserleitung den Druchsatz, verachtfacht sich die Prozessleistung. Der Druckabfall beträgt dann das Vierfache. Das weiss auch die Feuerwehr. Weil der Motor einer Pumpe nur eine beschränkte Leistung abzugeben vermag, kann eine einzige Transportleitung nur eine ganz bestimmte Wassermenge zum Brandherd befördern.

Speicher

Reine Leitungsnetze, die nur Energie übertragen, aber nicht speichern können, sind oft instabil. Um die Stabilität zu erhöhen, werden zusätzliche Speicher angebracht. In hydraulischen Systemen setzt man Feder- und Blasenspeicher ein.

Speicher findet man in allen Zweigen der Physik. Die Tabelle gibt einen Überblick über häufig verwendete Speicher

Gebiet	Objekt	Menge	Potenzial
Hydrodynamik	Blasenspeicher	Volumen	Druck
Elektrodynamik	Kondensator	Ladung	Spannung
Translationsmechanik	Hammer	Impuls	Geschwindigkeit
Rotationsmechanik	Schwungrad	Drehimpuls	Winkelgeschwindigkeit
Thermodynamik	Wärmespeicher	Entropie	Temperatur

In der Umgangssprache nennt man den Impuls oft Schwung oder Wucht, den Drehimpuls Drall und die Wärme Entropie.

Kapazität

Der Begriff Kapazität (lat.: capacitas = „Fassungsvermögen“) bezeichnet ganz unterschiedliche Eigenschaften wie die Speicherfähigkeit eines Mediums (Speicherkapazität), den maximaler Durchsatz bei einer Datenleitung (Kanalkapazität) bzw. einer Strasse, oder einfach das Fassungsvermögen eines Gefässes. In der Physik versteht man unter der Kapazität eine Speicherfähigkeit pro Potenzialänderung. Die hydraulische Kapazität ist deshalb als Volumenänderung eines Speichers dividiert durch die damit verbundene Druckänderung

[math]C_V = \frac {\Delat V}{\Delta p}[/math]

Eine grosse Kapazität bedeutet demnach, dass ein Speicher viel Flüssigkeit aufnehmen kann, ohne dass der Druck stark ansteigt. Die Einheit der hydraulischen Kapazität ist m³/Pa. Weil der Kubikmeter eine grosse und das Pascal eine sehr kleine Einheit ist, sind die Zahlenwerte für die Kapazität oft sehr klein.

konstante Kapazität

Zylinderförmige Gefässe und federbelastete Speicher weisen eine Kapazität auf, die nicht vom Füllstand abhängt. In der Systemdynamik zählt man diese Speicher zu den linearen Elementen. Ist die Kapazität bekann, kann aus der Druckänderung die Volumenzunahme berechnet werden

[math]\Delta V = C_V \Delta p[/math]

nichtlineare Speicher

Blasenspeicher sind nichtlinear. Im Praktikum werden wir Petflaschen als Blasenspeicher einsetzen. Wird eine Petflasche nicht zu schnell mit Wasser gefüllt, gehorcht die eingeschlossene Luftblase dem Gesetz von Boyle-Mariotte, wonach das Proudkt aus Absolutdruck und Volumen der Luftblase konstant bleibt; Druck und Volumen verhalten sich umgekehrt proportional zueinander. Überträgt man dieses Verhalten auf das Wasser, erhält man das folgende Speicherverhalten

[math]p = p_0 \frac {V_0}{V_0 - V}[/math]

V steht für das in der Petflasche gespeicherte Wasservolumen, p₀ entspricht dem Luftdruck und mit V₀ ist das gesamte Fassungsvermögen der Petflasche gemeint (eine 1.5 Liter hat die Petflasche ein Fassungsvermögen von mehr als anderthalb Liter).