Konvektiver Transport, Energieströme

Impuls, Drehimpuls oder Entropie können durch die Materie hindurch (leitungsartig), durch das Gravitationsfeld bzw. das elektromagnetische Feld (strahlungsartig) oder zusammen mit der Materie (konvektiv) transportiert werden. Betrachtet man den Austausch zwischen Körper und Feld, spricht man statt von strahlungsartigem Transport von quellenartigem Austausch. In der klassischen Mechanik heissen die Stärken des leitungsartigen oder quellenartigen Impulsaustausches bezüglich eins Körpers Kraft auf den Körper. Die Stärke des konvektiven Impulsstromes nennt man dagegen einfach nur Impulsstrom.

Seit Albert Einstein 1905 gezeigt hat, dass Energie und Masse gleichwertige Begriffe sind, ist der Energiebegriff des neunzehnten Jahrhunderts (1. Hauptsatz der Thermodynamik) nur noch eine Buchhaltungsgrösse. Dennoch lässt sich auch der Energietransport in konvektive und nichtkonvektive Anteile aufspalten.

Lernziele

Sie lernen in dieser Vorlesung

was ein konvektiver Transport einer Menge ist
dass dann die Stromstärke als Dichte mal Volumenstromstärke
oder als spezifische Menge mal Massenstromstärke geschrieben werden kann
dass die Energie als zugeordnete Gravitationsenergie, kinetische Energie, innere Energie oder hydraulische Energie transportiert werden kann
dass das Gesetz von Bernoulli den Energietransport an zwei Punkten längs einer stationären, reibungsfreien Strömung eines inkompressiblen Fluids vergleicht
ein paar Anwendungen des Gesetzes von Bernoulli in Bezug auf die Luftfahrt kennen

Volumenstrom

Spielt die Kompression einer Flüssigkeit keine wesentliche Rolle, kann bei konvektiven Transportprozessen der Volumenstrom als Führungsgrösse genommen werden. In diesem Fall lassen sich die Stromstärken aller andern mengenartigen Grössen nach einem einfachen Schema aus der Volumenstromstärke berechnen. Dazu bildet man die jeweilige Mengendichte (Menge pro Volumen). Für die zugehörige konvektive Stromstärke gilt

Stromstärke einer beliebigen Menge = Dichte dieser Menge mal Volumenstromstärke

Die Stärke des Massenstroms ist also gleich

[math]I_m=\varrho I_V[/math]

Kennt man die Dichte der Stoffmenge (Stoffmenge pro Volumen gemessen in Mol pro Kubikmeter), lautet die Kopplungsgleichung

[math]I_n=\varrho_n I_V[/math]

Der konvektive Transport der Entropie S ist gleich Entropiedichte mal Volumenstromstärke

[math]I_S=\varrho_S I_V[/math]

Die Entropie ist die Grundgrösse der Thermodynamik. Im Alltag kennt man die Entropie unter dem Begriff Wärme. Die Dichte des Impulses ρ_pi ist gleich Massendichte mal Geschwindigkeit. Folglich gilt für die Stärke des konvektiven Impulsstromes

[math]\begin{pmatrix} I_{px} \\ I_{py} \\ I_{pz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \varrho_{px} \\ \varrho_{py} \\ \varrho_{pz}\end{pmatrix}I_V=\varrho\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z\end{pmatrix}I_V[/math]

Mit Geschwindigkeit ist hier der Mittelwert auf der für die Messung der Stromstärke relevanten Referenzfläche gemeint.

Zusammenfassend können wir festhalten, dass das Kopplungsschema zwischen Mengenstrom und Volumenstrom auf jede beliebige Menge M anwendbar ist, falls deren Dichte ρ_M bekannt ist

[math]I_M=\varrho_M I_V[/math]

Massenstrom

Gase verändern ihr Volumen entsprechend ihrer Temperatur und dem herrschenden Druck. Deshalb nimmt man bei Gasen die Masse als Führungsgrösse. Um den Transport einer beliebigen Menge zu beschreiben, muss deren spezifischer Wert (Menge pro Masse) bekannt sein. Dann gilt bezüglich der Massenstromstärke ein ähnlicher Zusammenhang wie bei der Volumenstromstärke

Stromstärke einer beliebigen Menge = Menge pro Masse mal Massenstromstärke

Nimmt man das Volumen als Menge, ist die zugehörige Stromstärke gleich spezifisches Volumen mal Stärke des Massenstromes

[math]I_V=V_{spez}I_m=\frac{1}{\varrho}I_m[/math]

Oft wird das spezifische Volumen (Volumen pro Masse), das gleich dem Kehrwert der Dichte ist, mit v bezeichnet. Nur besteht hier die Gefahr, dass man dann spezifisches Volumen und Geschwindigkeit verwechselt.

Sucht man nach der Stromstärke einer bestimmten Stoffmenge, gilt ein analoger Zusammenhang

[math]I_n=n_{spez}I_m=\frac{1}{\hat m}I_m[/math]

Der Kehrwert der spezifischen Stoffmenge ist die Molmasse (Masse pro Mol). Um eine gewisse Konsistenz zu wahren, wird in der Systemphysik jede molare Grösse mit einem Dach (hat) gekennzeichnet.

Der spezifische Impuls ist als Impuls pro Masse definiert. Folglich ist der spezifische Impuls gleich der Strömungsgeschwindigkeit

[math]\begin{pmatrix}I_{px}\\I_{py}\\I_{pz}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix}I_m[/math]

Auch hier ist mit Geschwindigkeit wieder der Mittelwert über die Referenzfläche gemeint. Mit konvektiven Impulsströmen werden wir uns in der nächsten Vorlesung im Zusammenhang mit der Impulsbilanz bezüglich offenen Systeme beschäftigen.

Energietransport

Ein Körper kann die Energie in drei verschiedenen "Formen" speichern, wobei zwei vom Beobachter (Bezugssystem) abhängen und als äussere Energieformen bezeichnet werden. Die dritte Form, die dem Körper uneingeschränkt zugeschrieben werden kann, heisst innere Energie. Die beiden äusseren Formen sind die potenzielle Energie und die Bewegungsenergie. Die potenzielle Energie steckt entweder im Gravitationsfeld oder im elektromagnetischen Feld. Die Bewegungsenergie wird entweder zusammen mit dem Impuls (kinetische Energie) oder zusammen mit dem Drehimpuls (Rotationsenergie) gespeichert. Nachfolgend betrachten wir von den äusseren Energieformen nur die beiden Spezialfälle kinetische Energie und potenzielle Energie im homogenen Gravitationsfeld.

Weil die beiden äusseren Energieformen proportional zur Masse sind, können die zugehörigen Energiedichten mit Hilfe der Massendichte geschrieben werden

Dichte der Gravitationsenergie: [math]\varrho_{W_{G}}=\varrho g h[/math]

Dichte der kinetischen Energie: [math]\varrho_{W_{kin}}=\frac{\varrho}{2}v^2[/math]

Die innere Energie ist gemäss Albert Einstein gleich der Masse mal das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit. Weil dies einen viel zu hohen Wert liefert, setzt man die innere Energie eines Körpers bei einem bestimmten Zustand (Druck und Temperatur) gleich Null. Die Energiedichten verschiedener Stoffe findet man in Tabellenwerken und Datenbanken (die innere Energie wird oft mit U bezeichnet).

Der konvektive Energietransport setzt sich aus den drei oben genannten Termen zusammen. Dazu kommt noch der hydraulische Energiestrom, den Sie in einer Vorlesung zur Hydrodynamik kennen gelernt haben. Fasst man alle vier Transportarten zusammen, erhält man die von einer Flüssigkeit total transportierte Energie

[math]I_W=\left(p+\varrho gh+\frac{\varrho}{2}v^2+\varrho_{W}\right)I_V[/math]

Bei Gasen und kompressiblen Flüssigkeiten ordnet man die Energie besser der Masse statt dem Volumen zu

[math]I_W=\left(\frac{p}{\varrho}+gh+\frac{v^2}{2}+w\right)I_m[/math]

Aus Konsistenzgründen schreiben wir für die Dichte der inneren Energie w statt wie üblich u (man sollte eine Grösse, auch wenn sie wie die Energie kaum fassbar ist, immer mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen).

Satz von Bernoulli

Der Satz von Bernoulli ist- wie der Name sagt - von Daniel Bernoulli (1700 -1782) hergeleitet worden. Damals betrachtete man die Energie noch nicht als allgemeine, bilanzierfähige Grösse. Aus heutiger Sicht ist der Satz von Bernoulli ein Spezialfall einer mechanischen Energiebilanz. Greift man ein Stück einer Rohrleitung heraus, lässt sich unter Vernachlässigung der nichtmechanischen Energieströme eine Energiebilanz formulieren

[math]I_{W1}+I_{W2}=\dot W[/math]

Modelliert man die Strömung im Rohr als

stationär
reibungsfrei
inkompressibel

verschwindet die Änderungsrate der inneren Energie. Zudem ist die Stärke des Volumenstromes am Eingang entgegengesetzt gleich der Stromstärke am Ausgang. Folglich gilt

[math]I_{W1}+I_{W2}=\left(p_1+\varrho gh_1+\frac{\varrho}{2}v_1^2\right)I_{V1}+\left(p_2+\varrho gh_2+\frac{\varrho}{2}v_2^2\right)I_{V2}=0[/math]

Setzt man in die Energiebilanz die Volumenbilanz bezüglich der inkompressiblen, stationären Strömung ein

[math]I_{V1}+I_{V2}=0[/math]

erhält man das Gesetz von Bernoulli

[math]p_1+\varrho gh_1+\frac{\varrho}{2}v_1^2=p_2+\varrho gh_2+\frac{\varrho}{2}v_2^2[/math]

Der Satz von Bernoulli kombiniert drei Terme, welche alle in Pascal gemessen werden können. Aus historischen Gründen nennt man den zweiten Term hydrostatischer Druck und den dritten Staudruck. Sie ersparen sich aber viel Ärger, wenn sie alle drei Terme als Energiebeladung des Volumenstromes interpretieren.

Anwendungen

Der Satz von Bernoulli gilt streng genommen nur längs einer reibungsfreien, stationären Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit. Weil diese Bedingungen nie vollständig erfüllt sind, können mit Hilfe dieses Gesetzes nur näherungsweise richtige Aussagen formuliert werden. Nimmt mal als Modell eine Potenzialströmung (Winkelgeschwindigkeit überall gleich Null), darf der Satz von Bernoulli zwischen zwei beliebigen Punkten angewendet werden.

Saugleitung

Evangelista Torricelli (1608 - 1647) hat im Anschluss an die Arbeiten seines Lehrers und Mentors, Galileo Galilei, gezeigt, dass die Ausflussgeschwindigkeit aus einem Gefäss gleich gross ist, wie die Geschwindigkeit eines von der Oberfläche der Flüssigkeit aus fallen gelassenen Körpers

[math]v=\sqrt{2gh}[/math]

Diese Beziehung folgt auch aus dem Satz von Bernoulli, falls man den Druck im ausfliessenden Freistrahl gleich dem Druck an der Wasseroberfläche setzt.

Nimmt man ein Reservoir mit einem senkrecht nach unten führenden Rohr (Durchmesser d₃), das sich zuunterst zu einer Düse mit Druchmesser d₄ verjüngt, kann man mit Hilfe des Satzes von Bernoulli den Druckverlauf in der Strömung verfolgen. Dazu wählen wir vier Punkte aus (einen Punkt an der Wasseroberfläche, einen seitlich zum Abfluss versetzt am Boden des Reservoirs, einen am oberen Ende des Rohrs und einen bei der Mündung der Düse). In den Punkten 1 und 2 darf die Geschwindigkeit gleich Null gesetzt werden. Zudem werden alle Höhen auf den Punkt 4 bezogen. Dann gelten folgende Beziehungen für die drei Bernoulli Terme

Punkt 1: [math]p_L+\varrho g h_1[/math]

Punkt 2: [math]p_2+\varrho g h_2[/math]

Punkt 3: [math]p_3+\varrho g h_3+\frac{\varrho}{2}v_3^2[/math]

Punkt 4: [math]p_L+\frac{\varrho}{2}v_4^2[/math]

Setzt man die Terme für die Punkte 1 und 2 gleich, gewinnt man die Formel für den hydrostatischen Druck. Aus den Termen 1 und 4 folgt das oben erwähnte Ausflussgesetz von Torricelli. Der Druck in Punkt 3 kann mit Hilfe der Volumenerhaltung längs der Strömung berechnet werden. Aus

[math]I_{V3}=v_3\frac{\pi d_3^2}{4}=I_{V4}=v_4\frac{\pi d_4^2}{4}[/math]

folgt mit [math]v_4=\sqrt{2gh_1}[/math] (Torricelli)

[math]v_3^2=v_4^2\frac{d_4^4}{d_3^4}=2gh_1\frac{d_4^4}{d_3^4}[/math]

Setzt man diesen Ausdruck in den Bernoulli-Term für den Punkt 3 ein und vergleicht ihn mit dem Term für Punkt 1, ergibt sich die folgende Beziehung für den dort herrschenden Druck

[math]p_3=p_L+\varrho g\left(h_1\left(1-\frac{d_4^4}{d_3^4}\right)-h_3\right)[/math]

Verjüngt sich das Abflussrohr nicht (d₃ = d₄), ist der Druck im Punkt 3 um den auf die Mündung bezogenen hydrostatischen Drucks kleiner als der Umgebungsdruck. Das Rohr übt folglich ein Sogwirkung auf das Reservoir aus. All diese Überlegungen gelten natürlich nur, falls jegliche Reibung vernachlässigt werden kann.

Staurohr

Die Luft umströmt den Flugzeugrumpf in genügend guter Näherung als Potenzialströmung. Folglich darf die Luft an einer Stelle gestaut und der dort gemessene Druck mit dem Wert verglichen werden, den man an einer Stelle misst, wo die Luft ungehindert vorbei strömt. Verkehrsflugzeuge stauen die Luftströmung an mehreren Punkten, damit Fehler, die durch Lage und Drehbewegungen des Flugzeuges entstehen, kompensiert werden können. Die rein statische Druckmessung erfolgt ebenfalls an mehreren, von der Strömung nicht direkt angeblasenen Punkten. In den Staupunkten misst man den Druck mittels Pitot-Rohren. Indem der Druck in den Staupunkten mit dem Druck der vorbei strömenden Luft verglichen wird, kann die Geschwindigkeit des Flugzeuges gemessen werden. In den Staupunkten besteht der Bernoulliterm nur aus dem Druck p_S, in den statischen Punkten kommt noch die Dichte der kinetischen Energie dazu. Aus dem Vergleich dieser beiden Terme

[math]p_S=p_L+\frac{\varrho}{2}v^2[/math]

folgt für die Geschwindigkeit

[math]v=\sqrt{\frac{2(p_S-p_L)}{\varrho}}[/math]

Diese Geschwindigkeit, Indicated Air Speed (IAS) genannt, muss danach um die messtechnischen Fehler (Instrumenten- und Positionsfehler) zur Calibrated Air Speed (CAS) umgerechnet werden. Weil die Luft entgegen der oben getroffenen Annahme komprimiert wird, erhält man die so genannte Equivalent Air Speed (EAS) durch eine Kompensation des Kompressibilitäts-Fehlers. Danach muss noch ein Dichtefehler korrigiert werden, damit die Messung mit der auf Meereshöhe skalierten Geräteanzeige übereinstimmt. Die so ermittelte wahre Geschwindigkeit des Flugzeuges gegen Luft nennt man in der Fachsprache True Air Speed (TAS).

Venturirohr

Ein sich verengendes Rohr nennt man nach Giovanni Battista Venturi ein Venturi-Rohr. Nimmt man an, dass eine inkompressible Flüssigkeit durch das Venturirohr (Verjüngung von Querschnitt A₁ auf Querschnitt A₂) strömt, muss sich seine Geschwindigkeit infolge der Volumenerhaltung

[math]I_{V1}=A_1v_1=I_{V2}=A_2v_2[/math]

wie folgt ändern

[math]v_2=v_1\frac{A_1}{A_2}[/math]

Formuliert man nun die Bernoulli-Terme an den beiden Querschnitten (ohne Gravitationsenergie), erhält man folgende Beziehung

[math]p_1+\frac{\varrho}{2}v_1^2=p_2+\frac{\varrho}{2}v_1^2\frac{A_1^2}{A_2^2}[/math]

Oder nach dem Druck an der engen Stelle aufgelöst

[math]p_2=p_1+\frac{\varrho}{2}v_1^2\left(1-\frac{A_1^2}{A_2^2}\right)=p_1-\frac{\varrho}{2}v_1^2\left(\frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right)[/math]

Das Venturi-Rohr war eines der ersten Geräte in der Motorfliegerei, mit dem man Unterdruck erzeugen konnte. Der Doppeltrichter war am Flugzeugrumpf so montiert, dass er genau in der Anströmrichtung des Propellers lag. Mit Hilfe des im Rohr erzeugten Unterdrucks konnten dann die Kreiselinstrumente betrieben werden. In der Fliegerei wird das Venturirohr auch zur Messung der Geschwindigkeit verwendet. Setzt man den Druck im Punkt 1 gleich dem Luftdruck, erhält man für die Anströmung folgenden Ausdruck

[math]v=\sqrt{\frac{2(p_L-p)}{\varrho\left(\frac{A_1^2}{A_2^2}-1\right)}}[/math]

Das Venturi-Rohr führt bei grosser Verjüngung zu grösseren Druckdifferenzen als das Pitot-Rohr, erzeugt aber auch mehr Kompression und unerwünschte Reibung. Deshalb wird diese Messmethode meist nur bei Segelflugzeugen und zur Bestimmung der Steig- oder Sinkgeschwindigkeit eingesetzt.

hydrodynamisches Paradoxon

Staut sich eine Menschenmenge bei einem Tor oder an einer Treppe, entsteht ein Gedränge. Die durch einen Engpass strömende Flüssigkeit verhält sich dagegen genau umgekehrt. Wie man beim Venturi-Rohr erkennen kann, sinkt der Druck an der engsten Stelle ab, weil ein Teil des hydraulisch zugeordneten Energiestromes auf die Bewegung (Dichte der kinetischen Energie) umgeladen werden muss. Diese Erscheinung, die auch dann Auftritt, wenn die Voraussetzungen des Satzes von Bernoulli nicht erfüllt sind, nennt man, weil sie im Widerspruch zu unserer Erfahrung steht, hydrodynamisches Paradoxon.

Beispiele:

Unterdruck in der Wirbelstrasse beim Luftwiderstand
Sogwirkung der Wasserstrahlpumpe
Anziehende Kraft zwischen zwei parallel fahrenden Schiffen
Sogwirkung des Windes auf das umströmte Dach

dynamischer Auftrieb

Der dynamische Auftrieb bei einem Flügel lässt sich mit Hilfe des Satzes von Bernoulli erklären. Leider werden bei dieser Argumentation oft zwei grobe Fehler gemacht

Der Satz von Bernoulli darf nur dann auf zwei Punkte, die nicht im gleichen Stromfaden liegen, angewendet werden, wenn eine Potenzialströmung vorliegt. Eine Potenzialströmung erzeugt aber keine Kraft, also auch keinen Auftrieb, auf den umströmten Körper.
Die zur Erklärung des Auftriebs notwendige grössere Geschwindigkeit der Strömung auf der Oberseite des Flügels wird mit dem weiteren Weg erklärt, den die Luft dort zurück legen muss. Dies ist natürlich blanker Unsinn. Wie soll die Luft wissen, dass sie einen weiteren Weg vor sich hat? Zudem kann man zeigen, dass die Luft, die an der Vorderkante geteilt wird, nicht gleichzeitig bei der Hinterkante ankommt.

Eine konsistente Erklärung des dynamischen Auftriebs ist von Kutta und Zhukovski entwickelt worden. Die Strömung um einen Flügel kann in guter Näherung in eine Potenzialströmung und eine Zirkulation zerlegt werden. Weil sich die Zirkulation erst dann einstellt, wenn die Hinterkante infolge Ausbildung einer Wirbelstrasse nicht mehr umströmt werden kann, nennt man diese induzierte Zirkulation und den zugehörigen Widerstand induzierten Widerstand. Zieht der Pilot das Flugzeug zu stark hoch, setzt die Zirkulation infolge Strömungsabriss (stall) aus und der Auftrieb bleibt weg. Die Zerlegung in Potenzialströmung und induzierte Zirkulation erlaubt nun, das Gesetz von Bernoulli zwischen einem Punkt auf der Ober- und einem auf der Unterseite anzuwenden.

Kontrollfragen

Wie formuliert man die Stromstärke einer mengenartigen Grösse bei einem konvektiven Transport bezogen auf
- die Volumenstromstärke?
- die Massenstromstärke?
Die von strömenden Material mitgenommene Energie kann mit Hilfe von vier Termen beschrieben werden. Um welche vier Terme handelt es sich?
Welche Aussage macht das Gesetz von Bernoulli?
Wann darf das Gesetz von Bernoulli angewendet werden?
Wie misst man bei einem Flugzeug die Geschwindigkeit gegen die umgebende Luft (indicated air speed)?
Wieso ist der Druck im Venturirohr an der engsten Stelle am kleinsten?
Was fällt Ihnen zum hydrodynamischen Paradoxon ein?

Materialien

Skript Seiten 2 und 3

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